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A Pulga Saltitante

2 participantes

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A Pulga Saltitante Empty A Pulga Saltitante

Mensagem por Euclides Qua 22 Out - 23:55

Este é um problema bem antigo e, quero crer, mesmo bem conhecido. Os mais jovens talvez não o conheçam e fica aí para alguma diversão mental.

O Problema da Pulga Saltitante...

Dados:

1. uma pulga situa-se sobre a extremidade A de um elástico de 10 cm de comprimento.
2. a cada segundo a pulga dá um salto de 1 cm no sentido da extremidade B.
3. imediatamente após o salto, a tira estica-se em 10 cm puxada pela extremidade B, sendo a extremidade A fixa.

Pergunta-se:

1. a pulga conseguirá sair fora da tira elástica?
2. em caso afirmativo, quando?

Solução:
O avanço da pulga...

A Pulga Saltitante Image

Considere-se que:

1. Cada salto antecede ao esticamento da tira.
2. O esticamento se distribui proporcionalmente a cada unidade de comprimento da tira, na razão n/(n-1).
3. Seja Pn a posição da pulga logo após o salto n.
4. Seja Pn-1 a posição imediatamente anterior.
5. Então Pn será igual à posição anterior ampliada pelo esticamento proporcional mais o novo salto:

P_n=\left(p_{n-1}\times \frac{n}{n-1}\right)+1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;n\;maior\;que\;1

Nessas condições o tamanho da tira é dado por nT e assim, se

\left(p_{n-1}\times \frac{n}{n-1}\right)+1\geq 10T

a pulga sairá da tira.

A posição P_n pode ser dada pela soma infinita

P_n=n\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}\right)

essa é uma sequência divergente e crescente, de modo que a pulga sairá da tira. O cálculo só é viável por computação. Se quiser fazê-lo:

1- copie os códigos baixo
2- vá até a página: http://www.compileonline.com/execute_basic_online.php
3- cole o código na janela da esquerda (apagando o que estiver lá)
4- clique na aba "Execute Script"
5- veja o resultado na janela da direita

Códigos

10 rem pulga saltitX
20 let A=0
30 let X=1
40 for i=1 to 20000
50 let A=A+1/(X)
60 let X=1+i
70 let K=i
80 if A<10 goto 110
90 if A>10 print "sai após ",K," pulos"
100 end
110 next i



Última edição por Euclides em Qua 29 Out - 2:07, editado 1 vez(es)

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A Pulga Saltitante Empty Re: A Pulga Saltitante

Mensagem por Matheus Fillipe Qui 23 Out - 19:22

Não entendi a 3 exatamente então tenho duas hipóteses. 

Primeira que creio que não seja a intenção: 

3- Acredito que se refira a imediatamente após o primeiro salto a tira se alonga os 10 cm uma única vez.

 Então a pulga dá seu primeiro salto, para na marcas dos 1 cm. O elástico se alonga 10 cm, considerando que ele é homogênico de forma que esses 10 centímetros se espalhem igualmente por todo o elástico temos que o elástico dobrou de comprimento e a pulga parou nos 2 cm. Assim faltam 18 cm e são portando 19 saltos para que ela chegue ao ponto B.

Essa interpretação não foi tão interessante, então meu palpite é que:

3 A cada salto a tira se elonga 10cm.

  Assim após o primeiro salto a pulga está na faixa dos 2 cm e faltam 18. Após o segundo salto a pulga para nos 3, mas com o elongamento a tira que tinha 20 cm passa a ter 30, então todas as suas distâncias são multiplicadas por 3/2. Assim a pulga está nos 4,5 cm. 

  Continuando com esse raciocínio após n saltos o comprimento total do elástico é 10*(n+1) e o comprimento que a pulga saltou é: 


Quando esse comprimento for igual a distância a pulga sai, ou seja, existe algum n que resolve:



??

Temos que:



Não achei uma maneira mais rápida do que ir fazendo manualmente. 

Valor de n         1           2              3              4
__________________________________________________________________________

distância            2          9/2           44/6        300/24 ---> ultrapassa 10
percorrida


Assim são necessários um mínimo de 4 saltos para que a pulga saia do elástico. Correto?

Interessante....
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A Pulga Saltitante Empty Re: A Pulga Saltitante

Mensagem por Euclides Qui 23 Out - 21:37

Matheus Fillipe,
P
A------------------------------B
A------P-----------------------B
A-----------P---------------------------------------------B

- A pulga dá um salto de 1 cm sobre o elástico
- em seguida o elástico é esticado mais 10 cm

isso se repete sempre.

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A Pulga Saltitante Empty Re: A Pulga Saltitante

Mensagem por Matheus Fillipe Qui 23 Out - 23:30

Minha segunda solução é correta?
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A Pulga Saltitante Empty Re: A Pulga Saltitante

Mensagem por Euclides Qui 23 Out - 23:35

@Matheus Fillipe escreveu:Minha segunda solução é correta?
Não, Matheus, basta você simular para ver que não.

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A Pulga Saltitante Empty Re: A Pulga Saltitante

Mensagem por Matheus Fillipe Sex 24 Out - 21:22

Desculpe Euclides, mas não consigo entender e tendei. Agora  minha curiosidade foi despertada e não descanso enquanto não entender isso. Eu estava pensando assim:

A pulga salta para 1cm de distância do A. Assim a distância do elástico dobra, então a pulga está a 2cm de A. A pulga salta para 3 cm, a distância é multiplicada por 3/2, e assim a pulga para na marca dos 4,5 cm. O que está errado nisso?
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Mensagem por Euclides Sex 24 Out - 23:44

O que não está certo é isso:
@Matheus Fillipe escreveu:Assim são necessários um mínimo de 4 saltos para que a pulga saia do elástico. Correto?

O desenho é ilustrativo (não está em escala)

A Pulga Saltitante Image

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