(Unesp) cilindro e cone

por luizabrt Ter 21 Out - 17:28

(Unesp) Tem-se um cilindro circular reto de raio da base r dm e altura 2 dm.
a) Que altura deve ter um cone circular reto, de mesma base do cilindro, para ter o mesmo volume do cilindro?
b) Aumentando 6 dm no raio do cilindro (mantendo a altura) ou aumentando 6 dm na altura do cilindro (mantendo o raio), o aumento no volume é o mesmo. Obtenha o valor de r.

por **Carlos Adir** Ter 21 Out - 17:57

a)
Volume do cilindro:
$\pi r^2 \cdot h$
Um cone, tem 1/3 do volume total de um cilindro de mesma altura e mesma base. Ou seja:
$\dfrac{\pi r^2 \cdot h}{3}$
Como teremos de achar o outro h:
$\pi r^2 \cdot 2 = \dfrac{\pi r^2 \cdot h}{3} \rightarrow h = 6$

b)
Seja r o raio inicial, e h a altura inicial:
$\\ \pi(r+6)^2h = \pi r^2 (h+6)\\ r^2h+12rh+36h = r^2h+6r^2\\6r^2-12rh-36h=0 \\ r^2-2rh-6h=0 \\ r=\dfrac{-(-2h) \pm \sqrt{(-2h)^2-4(1)(-6h)}}{2 (1)}\\ r = \dfrac{2h \pm \sqrt{4h^2+24h}}{2}\\ r=h \pm \sqrt{h^2+6h}$
Como raio não pode ser negativo, descartamos a possibilidade negativa, logo:
$r=h + \sqrt{h^2+6h}$
Como não sabemos o valor da altura do cilindro, então esse é o raio em função da altura inicial do cilindro.