Dúvida em identidade algébrica

por paulorfamaral 27/9/2014, 7:00 pm

Primeiramente boa noite pessoal ! Bom,estou com uma dúvida nessa questão,já vi a resolução e continuei sem entender.
Alguns cálculos matemáticos ficam mais simples quando usamos identidades, tais como:

a2 – b2 = (a + b)(a – b)
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2)

Considerando essas identidades, calcule os valores numéricos racionais mais simples das expressões:
B) cos6 15º + sen6 15º.

por **Euclides** 27/9/2014, 7:24 pm

por PedroCunha 27/9/2014, 7:57 pm

Tem um jeito mais simples.

\\ \sin^6 15^{\circ} + \cos^6 15^{\circ} \therefore ( \sin^2 15^{\circ})^3 + (\cos^2 15^{\circ})^3 \therefore \\\\ (\sin^2 15^{\circ} + \cos^2 15^{\circ}) \cdot ( \sin^4 15^{\circ} - \sin^2 15^{\circ} \cos^2 15^{\circ} + \cos^4 15^{\circ}) \therefore \\\\ 1 \cdot [ (\sin^2 15^{\circ} + \cos^2 15^{\circ})^2 - 3 \sin^2 15^{\circ} \cos^2 15^{\circ} ] \therefore \\\\ 1 - 3 \cdot \left( \frac{ \sin 30^{\circ}}{2} \right)^2 \therefore 1 - \frac{3}{16} \Leftrightarrow \frac{13}{16}

Creio que você se equivocou ao aplicar a fórmula, Euclides.

por **Euclides** 27/9/2014, 8:02 pm

PedroCunha escreveu:Tem um jeito mais simples.

\\ \sin^6 15^{\circ} + \cos^6 15^{\circ} \therefore ( \sin^2 15^{\circ})^3 + (\cos^2 15^{\circ})^3 \therefore \\\\ (\sin^2 15^{\circ} + \cos^2 15^{\circ}) \cdot ( \sin^4 15^{\circ} - \sin^2 15^{\circ} \cos^2 15^{\circ} + \cos^4 15^{\circ}) \therefore \\\\ 1 \cdot [ (\sin^2 15^{\circ} + \cos^2 15^{\circ})^2 - 3 \sin^2 15^{\circ} \cos^2 15^{\circ} ] \therefore \\\\ 1 - 3 \cdot \left( \frac{ \sin 30^{\circ}}{2} \right)^2 \therefore 1 - \frac{3}{16} \Leftrightarrow \frac{13}{16}

Creio que você se equivocou ao aplicar a fórmula, Euclides.

Acho que sim. Trabalhar direto no latex às vezes faz isso.

por paulorfamaral 27/9/2014, 8:18 pm

PedroCunha escreveu:Tem um jeito mais simples.

\\ \sin^6 15^{\circ} + \cos^6 15^{\circ} \therefore ( \sin^2 15^{\circ})^3 + (\cos^2 15^{\circ})^3 \therefore \\\\ (\sin^2 15^{\circ} + \cos^2 15^{\circ}) \cdot ( \sin^4 15^{\circ} - \sin^2 15^{\circ} \cos^2 15^{\circ} + \cos^4 15^{\circ}) \therefore \\\\ 1 \cdot [ (\sin^2 15^{\circ} + \cos^2 15^{\circ})^2 - 3 \sin^2 15^{\circ} \cos^2 15^{\circ} ] \therefore \\\\ 1 - 3 \cdot \left( \frac{ \sin 30^{\circ}}{2} \right)^2 \therefore 1 - \frac{3}{16} \Leftrightarrow \frac{13}{16}

Creio que você se equivocou ao aplicar a fórmula, Euclides.

Muito obrigado pedro cunha,sou mt grato...Só não entendi a segunda linha da expressão...
Por que fica(sen²15+cos²15) (sen4 15 - sen²15cos²15 + cos²15) ?

por PedroCunha 27/9/2014, 10:41 pm

É o produto notável.

a³+b³ = (a+b)*(a²-ab+b²)

Fazendo a = sen² 15° e b = cos² 15°, tem-se:

(sen²15°+cos²15°)*(sen⁴ 15° - sen²15°cos²15° + cos¹⁵°)

Att.,
Pedro