esfera e cones

Inscrevem-se, em uma esfera de raio R > 0 , dois cones 
circulares retos tendo como base comum um círculo de 
raio r > 0 e vértices diametralmente opostos. Seja x a 
distância do centro da esfera ao centro da base dos cones. 
Com essas considerações, assinale a(s) alternativa(s) 
correta(s). 

01) x pode assumir todos os valores no intervalo [0,R) . 

02) Se x = 0 , a soma dos volumes dos cones é 1/4 do 
volume da esfera. 

04) A razão do volume do cone maior para o volume do 
cone menor é expresso por (R + x)/(R-x), sendo x > 0 . 

08) Se x = R/2, o volume do cone maior é o dobro do 
volume do cone menor.
 
16) A soma dos volumes dos cones não excede o volume 
de um hemisfério da esfera. 


Gabarito: 01, 04 e 16.

a situação é a que se apresenta na figura:


01) x pode assumir todos os valores no intervalo [0,R).
VERDADE. Considera-se como zero o centro da esfera. Porém x não pode ser igual a R porque isto reduziria a área da base a um ponto (r=0); adequadamente, o intervalo está aberto em R.

02) Se x = 0 , a soma dos volumes dos cones é 1/4 do 
volume da esfera.
FALSO. Quando x=0 temos r=R e o volume dos dois cones será:
2.Vc = 2.[(1/3).pi.R².R] = (2/3).pi.R³
Lembrando que o volume da esfera é: Ve = (4/3).pi.R³
Temos que a comparação resulta:
2Vc/Ve = (2/3)/(4/3) = 1/2
Ou seja, a soma do volume dos dois cones vale metade do volume da esfera.

04) A razão do volume do cone maior para o volume do 
cone menor é expresso por (R + x)/(R-x), sendo x > 0.
VERDADE.
volume do cone maior: V' = (1/3).pi.r².(R+x)
volume do cone menor: V'' = (1/3).pi.r².(R-x)
razão: V'/V'' = (R+x)/(R-x)

08) Se x = R/2, o volume do cone maior é o dobro do 
volume do cone menor.
FALSO. A partir da conclusão anterior, podemos facilmente comprarar os volumes.
V'/V'' = (R + R/2)/(R - R/2) = (3R/2)/(R/2) = 3
Portanto, quando x=R/2, o volume do cone maior é três vezes o volume do menor.

16) A soma dos volumes dos cones não excede o volume 
de um hemisfério da esfera.
VERDADE.
lembrando o volume da esfera: Ve = (4/3).pi.R³
V' + V'' = (1/3).pi.r²[R + x + R - x] = (1/3).pi.r².2R = (2/3).pi.r².R
como temos sempre r≤R, no caso mais favorável -- i.e., de maior volume na soma dos cones -- teremos r=R, condição na qual
V'+V'' = Ve/2
ou seja, a soma do volume dos cones é, no máximo, a metade do volume da esfera -- ou, de um hemisfério.

Portanto, confere o gabarito: 01, 04, 16.

Medeiros escreveu:a situação é a que se apresenta na figura:


01) x pode assumir todos os valores no intervalo [0,R).
VERDADE. Considera-se como zero o centro da esfera. Porém x não pode ser igual a R porque isto reduziria a área da base a um ponto (r=0); adequadamente, o intervalo está aberto em R.

02) Se x = 0 , a soma dos volumes dos cones é 1/4 do 
volume da esfera.
FALSO. Quando x=0 temos r=R e o volume dos dois cones será:
2.Vc = 2.[(1/3).pi.R².R] = (2/3).pi.R³
Lembrando que o volume da esfera é: Ve = (4/3).pi.R³
Temos que a comparação resulta:
2Vc/Ve = (2/3)/(4/3) = 1/2
Ou seja, a soma do volume dos dois cones vale metade do volume da esfera.

04) A razão do volume do cone maior para o volume do 
cone menor é expresso por (R + x)/(R-x), sendo x > 0.
VERDADE.
volume do cone maior: V' = (1/3).pi.r².(R+x)
volume do cone menor: V'' = (1/3).pi.r².(R-x)
razão: V'/V'' = (R+x)/(R-x)

08) Se x = R/2, o volume do cone maior é o dobro do 
volume do cone menor.
FALSO. A partir da conclusão anterior, podemos facilmente comprarar os volumes.
V'/V'' = (R + R/2)/(R - R/2) = (3R/2)/(R/2) = 3
Portanto, quando x=R/2, o volume do cone maior é três vezes o volume do menor.

16) A soma dos volumes dos cones não excede o volume 
de um hemisfério da esfera.
VERDADE.
lembrando o volume da esfera: Ve = (4/3).pi.R³
V' + V'' = (1/3).pi.r²[R + x + R - x] = (1/3).pi.r².2R = (2/3).pi.r².R
como temos sempre r≤R, no caso mais favorável -- i.e., de maior volume na soma dos cones -- teremos r=R, condição na qual
V'+V'' = Ve/2
ou seja, a soma do volume dos cones é, no máximo, a metade do volume da esfera -- ou, de um hemisfério.

Portanto, confere o gabarito: 01, 04, 16.

Muito obrigado Medeiros... agora, se não for pedir muito, será que daria pra você tentar as outras questões que postei juntamente com essa (em álgebra), fazendo um grande favor? Obrigado.