Combinação de MHS

por pedroau Sáb 30 Ago 2014, 14:19

Olá, não estou conseguindo achar um caminho para a resolução dessa questão:

O diagrama mostrado na figura é o resultado da combinação de
dois movimentos harmônicos simples
x = xm cos (ωxt) e y = ym cos (ωyt + φy).
a) Qual o valor de xm/ym?
b) Qual é o valor de ωx/ωy?
c) Qual é o valor de φy?

IMAGEM: questão 43 -> http://www.rumoaoita.com/site/attachments/412_Apostila_ITA_Olimpo_Bernadelli_Ondas.pdf
Combinação de MHS Img_4

Grato desde já!

por **Euclides** Dom 31 Ago 2014, 13:26

Observe que para x=máximo, necessariamente t=0. Desde que x=0 → y=0 temos também t=0 para y=0, logo

$\cos(\omega_yt+\phi)=0\;\;\to\;\;\cos(\phi_y)=0, \;\;\;\to\;\;\;\phi=\frac{\pi}{2}$

para y mínimo temos

$\cos(\omega_yt+\frac{\pi}{2})=-1\;\;\to\;\;\omega_yt+\frac{\pi}{2}=\pi\;\;\to\;\;\omega_yt=\frac{\pi}{2}$

para x mínimo

$\cos(\omega_xt)=-1\;\;\to\;\;\omega_xt=\pi$

portanto

$\frac{\omega_xt}{\omega_yt}=\frac{\pi}{\frac{\pi}{2}}\;\;\to\;\;\frac{\omega_x}{\omega_y}=2$

ou, de outra maneira, examinando o gráfico também é possível ver que

$T_x=2T_y\;\;\to\;\;\frac{2\pi}{T_x}=\frac{2\pi}{\frac{T_x}{2}}\;\;\;\Rightarrow \;\;\;\omega_x=2\omega_y$

que conduz à mesma relação.

Ainda não tive uma boa ideia para relacionar as amplitudes, mas talvez meu raciocínio tenha ficado preso num círculo vicioso e alguém com um olhar novo possa ver.