(China) Números Complexos
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(China) Números Complexos
Se a e b são números complexos conjugados, tal que a/b² é um número real e |a-b|=2√3.
Então o valor de |a| é igual a:
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Então o valor de |a| é igual a:
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
- Spoiler:
- Gabarito: B
medock- Jedi
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Re: (China) Números Complexos
Olá, medock.
a = x+yi, b = x-yi.
a/b² = (x+yi)/(x² - 2xyi - y²) .:. (x+yi)/[ (x²-y²) - 2xyi] .:.
[ (x+yi) * [ (x²-y²) + (2xyi)] / [(x²-y²)² - (2xyi)²]
Numerador:
x³ - xy² + 2x²yi + x²yi - y³i + 2xy²i² .:. (x³-3xy²) + i*(3x²y-y³)
Denominador:
x^4 - 2x²y² + y^4 + 4x²y² = x^4 + 2x²y² + y^4 = (x²+y²)²
Se a/b² é real:
(x³-3xy²)/(x²+y²)²≠ 0 --> denominador sempre não nulo:
x³-3xy² ≠0 .:. x*(x²-3y²) ≠ 0 --> x ≠ 0 e x ≠ √3*±y
e
(3x²y-y³)/(x²+y²)² = 0 .:. 3x²y-y³ = 0 .:. 3x²y = y³, y ≠ 0: 3x² = y² .:. x² = y²/3 .:. x = ± (√3/3)*y
Ainda:
|a-b| = 2√3 .:. |x+yi - (x-yi)| = 2√3 .:. |2yi| = 2√3 .:. 4y² = 12 .:. y²= 3 .:. y = ±√3
Assim:
x = (√3/3)*√3 .:. x = 1 --> x² = 1
Logo: |a| = √[ x² + y²] .:. |a| = √[ 1 + 3 ] = 2
Abraços,
Pedro
a = x+yi, b = x-yi.
a/b² = (x+yi)/(x² - 2xyi - y²) .:. (x+yi)/[ (x²-y²) - 2xyi] .:.
[ (x+yi) * [ (x²-y²) + (2xyi)] / [(x²-y²)² - (2xyi)²]
Numerador:
x³ - xy² + 2x²yi + x²yi - y³i + 2xy²i² .:. (x³-3xy²) + i*(3x²y-y³)
Denominador:
x^4 - 2x²y² + y^4 + 4x²y² = x^4 + 2x²y² + y^4 = (x²+y²)²
Se a/b² é real:
(x³-3xy²)/(x²+y²)²≠ 0 --> denominador sempre não nulo:
x³-3xy² ≠0 .:. x*(x²-3y²) ≠ 0 --> x ≠ 0 e x ≠ √3*±y
e
(3x²y-y³)/(x²+y²)² = 0 .:. 3x²y-y³ = 0 .:. 3x²y = y³, y ≠ 0: 3x² = y² .:. x² = y²/3 .:. x = ± (√3/3)*y
Ainda:
|a-b| = 2√3 .:. |x+yi - (x-yi)| = 2√3 .:. |2yi| = 2√3 .:. 4y² = 12 .:. y²= 3 .:. y = ±√3
Assim:
x = (√3/3)*√3 .:. x = 1 --> x² = 1
Logo: |a| = √[ x² + y²] .:. |a| = √[ 1 + 3 ] = 2
Abraços,
Pedro
PedroCunha- Monitor
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Data de inscrição : 13/05/2013
Idade : 27
Localização : Viçosa, MG, Brasil
Re: (China) Números Complexos
Pedro Cunha, obrigado pela otima resolução, eu não estava conseguindo fazer a questão por não ter compreendido certo a questão, no momento que diz "são número complexos conjugados" fiquei na dúvida se era conjugados entre si ou os dois eram da forma: Z = x - yi. E acabei usando o segundo modo, então acabou dando errado, mas muito obrigado pela resolução.
medock- Jedi
- Mensagens : 303
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