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Sistema de Grau Superior IV

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Mensagem por L.Lawliet Dom 27 Jul 2014, 23:50

Calcule um valor de "x" no sistema.

•x(x+y)(x+2y)(x+3y)=4
•(x+y)²+(x+2y)²=4

A resposta é [3√(6)+2] /√(5)

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Se nao me engano, a equação parece estar errada, mas fiquei meio receoso

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Mensagem por PedroCunha Seg 28 Jul 2014, 00:02

Olá, Luiz.

Na segunda equação:

Note que 4 = √2² + √2². Assim:

x+y = √2 .:. x = √2-y 
x+2y = √2 .:. √2-y+2y = √2 .:. y = 0 --> x = √2

que é uma das soluções

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Abraços,
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Mensagem por L.Lawliet Seg 28 Jul 2014, 07:59

Valeu Pedro!

Estranho, a ultima vez que poste uma equação com 3 igualdades no wolframalpha tinha dado erro.

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Mensagem por Luck Ter 29 Jul 2014, 01:08

Pedro, apesar de ser uma solução, 4 = √2² + √2² não implica em x+y = √2 e x+2y = √2 , a segunda equação isolada possui infinitas soluções..
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Mensagem por PedroCunha Ter 29 Jul 2014, 01:13

Sim. Mas x+y = √2 e x+2y = √2 é uma delas
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Mensagem por Luck Ter 29 Jul 2014, 01:22

[Você precisa estar registrado e conectado para ver este link.] escreveu:Sim. Mas x+y = √2 e x+2y = √2 é uma delas
sim,como a questão pede um valor então qualquer encontrado por chute é válido. Só quis te dizer que uma coisa não implica na outra já que vc escreveu 'Assim' achei que tivesse fazendo uma conclusão..
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Mensagem por PedroCunha Ter 29 Jul 2014, 01:34

Entendi. Foi por chute mesmo; não foi a solução algébrica.

Aliás, como ficaria?
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Mensagem por Luck Ter 29 Jul 2014, 02:14

[Você precisa estar registrado e conectado para ver este link.] escreveu:Entendi. Foi por chute mesmo; não foi a solução algébrica.

Aliás, como ficaria?
se tiver uma solução algébrica não trabalhosa não deve ser nada trivial.. amanhã vou ver se tento, caso apareça alguma ideia posto, boa noite!

ps. luiz, caso a questão tenha alternativas não esqueça de postá-las junto com o enunciado..
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Mensagem por L.Lawliet Ter 29 Jul 2014, 21:51

As alternativas são:

a)-1/2
b)-2
c)√3
d)(3√6+2)/√5
e)(3√6-1)/√2

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Mensagem por Luck Qua 30 Jul 2014, 01:16

x(x+y)(x+2y)(x+3y)=4
(x+y)²+(x+2y)²=4

 :idea: Note que (x, x+y, x+2y ,x + 3y) formam uma P.A de razão y. Neste caso, uma boa ideia seria escrever uma P.A de quatro termos na forma (a-3r, a-r, a+r, a+3r) que é útil tanto para soma de todos os elementos (pois a razão corta), ou soma dos quadrados dos termos das extremidades ( o termo 'ar' corta) ou produto de todos os elementos (que aparece diferença de quadrados)... assim, sejam:
x = a-3r ; x+y = a-r ; x+2y = a+r ; x + 3y = a + 3r , temos:

(a-3r)(a-r)(a+r)(a+3r)= 4
(a-r)² + (a+r)² = 4

(a²-9r²)(a²-r²) = 4 (i)
2(a²+r²)= 4 ∴ a² = 2 - r² (ii)

substituindo (ii) em (i) :
(2-10r²)(2-2r²) = 4
(1-5r²)(1-r²) = 1
1 - r² -5r² + 5r^4 = 1
5r^4 -6r² = 0
r²(5r²-6) = 0
r² = 0 ou r² = 6/5

se r = 0 :
a² = 2-0 ∴ a = ±√2
x = a - 3r
x = ±√2

se r = ±√(6/5) :
a² = 2 - (6/5) ∴ a = ±2/√5
x = a - 3r
x = ± (2/√5 ) ∓ 3(√(6/5)

possíveis valores de x:
√2 , -√2 , (3√6 +2)/√5 , (3√6-2)/√5 , (-3√6+2)/√5 , (-3√6-2)/√5

obs. luiz, não esqueça: as alternativas também fazem parte da questão, sempre que tiver poste-as junto com enunciado e não apenas o gabarito (regra XI).
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