Equação do 2º Grau VI

Para que valor de ''a'' a diferença das raizes de : { 4x²-10(a+1)x +14a +5 =0} será mínima .

A resposta é (3/25)

x1 = (-b +√∆)/2a ; x2 = (-b - √∆)/2a
x1 - x2 = (√∆)/a
∆ = 100(a+1)² - 4.4(14a+5)
∆ = 4[25(a+1)² - 4(14a+5)]
∆ = 4(25a² -6a + 5)

x1 - x2 =[√(25a² -6a + 5)]/4
x1 - x2 é mínimo para a = 6/50 = 3/25 ( vértice )

Luck, no meu livro ele dizia que a formula era essa:

|x1 - x2| = (√∆)/a

Neste caso eu igualei  { [√(25a² -6a + 5)]/4 } a 0  ←→(25a² -6a + 5)=0 e calculei as raizes, mas deu uma resposta diferente da do gabarito. Então, a formula do meu livro está errada ou fui eu que fiz algo errado mesmo?

Mas de fato, parece que a formula do livro está errada, ja que o valor de ''a'' pode ser negativo, como uma raiz quadrada da sempre um valor positivo, geraria um absurdo para o caso de ''a'' negativo.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=25a%5E2-6a%2B5%3D0

luiz.bfg escreveu:Luck, no meu livro ele dizia que a formula era essa:

|x1 - x2| = (√∆)/a

Neste caso eu igualei  { [√(25a² -6a + 5)]/4 } a 0  ←→(25a² -6a + 5)=0 e calculei as raizes, mas deu uma resposta diferente da do gabarito. Então, a formula do meu livro está errada ou fui eu que fiz algo errado mesmo?

Mas de fato, parece que a formula do livro está errada, ja que o valor de ''a'' pode ser negativo, como uma raiz quadrada da sempre um valor positivo, geraria um absurdo para o caso de ''a'' negativo.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=25a%5E2-6a%2B5%3D0

fórmula até para isso?! O uso de muitas fórmulas 'prontas' pode estar limitando seu raciocínio.. Veja o que fiz:
de Bháskara,  x = (-b ±√∆)/2a , supondo x1 > x2 , temos x1 = (-b+√∆)/2a , x2 = (-b -√∆)/2a
subtraindo uma da outra vc obtém : x1 - x2 = (√∆)/a .. no caso ele mostra com módulo para nao precisar supor x1>x2 , então |x1-x2| = √∆/a

se vc igualar a zero vc está afirmando que x1 - x2 = 0 , o enunciado pede 'a' para x1-x2 ser mínimo, sendo
x1 - x2 = [√(25a² -6a + 5)]/4 , a função f(a) = 25a² -6a + 5  tem coeficiente de grau 2  positivo, logo admite mínimo, nesse caso o 'a' para que x1-x2 seja mínimo é o x do vértice da função: Xv = -b/2a , assim,  a  = 6/(2.25) = 3/25.

O livro faz a demonstração da formula. Me expressei errado.

Saquei, Valeu Luck!