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(CN)número natural

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Mensagem por thiagomurisini Sab 26 Jun 2010, 20:18

Se a é um número natural, a^5 - 5a³ + 4a é sempre divisível por :


(A) 41

(B) 48

(C) 50

(D) 60

(E) 72

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Mensagem por Elcioschin Qua 30 Jun 2010, 12:48

a^5 - 5a³ + 4a = a*(a^4 - 5a² + 4)

a^5 - 5a³ + 4a = a*(a² - 1)*(a² - 4)

a^5 - 5a³ + 4a = a*(a + 1)*(a - 1)*(a + 2)*(a - 2)

Para a = -1, a = -2, a = 0, a = 1, a = 2 o polinômio é nulo, logo é divisível por qualquer número.

Temos 5 números sucessivos, logo pelo menos um deles é divisível por 3, outro é divisível por 4 e outro divisível por 5 ----> 3*4*5 = 60

Alternativa D
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Mensagem por Eduardo RabeloITA Dom 19 Jul 2020, 08:45

@Elcioschin escreveu:a^5 - 5a³ + 4a = a*(a^4 - 5a² + 4)

a^5 - 5a³ + 4a = a*(a² - 1)*(a² - 4)

a^5 - 5a³ + 4a = a*(a + 1)*(a - 1)*(a + 2)*(a - 2)

Para a = -1, a = -2, a = 0, a = 1, a = 2 o polinômio é nulo, logo é divisível por qualquer número.

Temos 5 números sucessivos, logo pelo menos um deles é divisível por 3, outro é divisível por 4 e outro divisível por 5 ----> 3*4*5 = 60

Alternativa D  
Olá, não entendi como chegou-se nessa parte em negrito, podem me explicar?


att, Eduardo
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Mensagem por Elcioschin Dom 19 Jul 2020, 11:36

Fatorando a4 - 5.a2 +  4:

a4 - 5.a2 +  4 = 0

(a²)² - 5.(a²) + 4 = 0 ---> Equação do 2º grau na variável a²

Raízes: a² = 1 e a² = 4

a4 - 5.a2 +  4 = (a² - 1).(a² - 4)
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Mensagem por Nassif Dom 19 Jul 2020, 13:33

Elcioshin, quando resolvi essa questão eu olhei para os coeficientes 5 e 4, e tirei que a resposta poderia ser somente um número que fosse divisível por 5 e 4, isso estaria errado?

Dessa forma eu também achei 60
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Mensagem por Elcioschin Dom 19 Jul 2020, 14:06

E como é que vc chegou a esta conclusão?
Para fazer isto deve-se provar porque isto vale!
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Mensagem por Nassif Dom 19 Jul 2020, 14:33

É... então foi uma carteação muito sortuda, porque não consegui provar.
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Mensagem por projeto_escolanaval Qua 21 Abr 2021, 09:26

Muito obrigado pelo Resolução

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