ITA - Equação irracional

por **rodrigoneves** Seg 07 Jul 2014, 15:09

Considere a equação:
\sqrt{x^2 - p} + 2 \sqrt{x^2 - 1} = x
a) Para quais valores do parâmetro real p a equação admite raízes reais?
b) Determine todas essas raízes reais.

gabarito:

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Tentei começar elevando os dois membros ao quadrado, me deu uma equação literal em x; pra resolver o delta maior que zero, ficou uma inequação de 3º grau em p e eu não sei resolver (mas acho que foi erro meu mesmo, até porque a questão está num livro na parte de função quadrática).
Ainda assim, gostaria muito que alguém me mostrasse a resolução correta. Agradeço.

por **Elcioschin** Seg 07 Jul 2014, 17:26

Elevando ao quadrado:

(x² - p) + 4.(x² - 1) + 4.√[(x² - p).(x² - 1)] = x²

4.x² - (p + 4) + 4.√(x⁴ - (p + 1).x² + p) = 0

4.√[x⁴ - (p + 1).x² + p] = (p + 4) - 4x² ---> Elevando ao quadrado:

16.x⁴ - 16.(p + 1).x² + 16.p = (p + 4)² - 8.(p + 4).x² + 16.x⁴^{- 16.(p + 1).x² + 16.p = (p + 4)² - 8.(p + 4).x²}

^Agoraé contigo !!!

por **rodrigoneves** Seg 07 Jul 2014, 19:30

Elcioschin escreveu:4.x² - (p + 4) + 4.√(x⁴ - (p + 1).x² + p) = 0

4.√[x⁴ - (p + 1).x² + 1] = (p + 4) - 4x²

Muito obrigado pela ajuda, mestre! Nas linhas acima o senhor acabou se confundindo, mas foi fácil corrigir a expressão final. Na verdade, só agora percebi que a inequação em p que surge depois pode ser resolvida como produto. Me faltou atenção para perceber isso antes. Um abraço!

por Raquel.castriola Seg 10 Abr 2017, 15:05

alguém pode completar a resoluçao? desde já grata

por **Elcioschin** Seg 10 Abr 2017, 18:32

- 16.(p + 1).x² + 16.p = (p + 4)² - 8.(p + 4).x²

Junte os termos em x² no 1º membro e os termos numéricos no 2º membro:

k.x² = n ---> x² = n/k

Para x ser real ---> k ≠ 0 e n/k ≥ 0 (faça a tabela de sinais: varal)