(CN) Quadrilátero

por thiagomurisini Qui 24 Jun 2010, 21:41

Num quadrilátero ABCD tem-se: AB = 42, BC = 48, CD = 64, DA= 49 e P é o ponto de interseção entre as diagonais AC e BD. Qual é a razão entre os segmentos PA e PC, sabendo-se que a diagonal BD é igual a 56?

(A) 7/8

(B) 8/7

(C) 7/6

(D) 6/7

(E) 49/64

por **adriano tavares** Qui 04 Nov 2010, 15:50

Olá, thiagomurisini.

(CN) Quadrilátero Colgionavalgeometriapla

Primeiro vamos calcular a área do triângulo ABD utilizando a fórmula de Herão.

$A=\sqrt{p(p-a).(p-b).(p-c)}$

Onde p é o semiperímetro.

$p=\frac{49+42+56}{2}\Rightarrow p=\frac{147}{2}$

$A_{\Delta ABD}=\sqrt{\frac{147}{2}.\frac{35}{2}.\frac{49}{2}.\frac{63}{2}}=\sqrt{\frac{7^2.3.7.5.7^2.7.9}{2^4}} =\frac{1029\sqrt{15}}{4}$

$A_{\Delta ABD}=\frac{56h}{2}\Rightarrow \frac{1029\sqrt{15}}{4}=\frac{56h}{2}\Rightarrow h=\frac{1029\sqrt{15}}{112}$

De maneira análoga para o triângulo CBD teremos:

$p'=\frac{48+64+56}{2} \Rightarrow p'=84$

$A_{CBD}=\sqrt{84.28.36.20}=\sqrt{2^2.3.7.7.2^2.6^2.2^2.5}=336\sqrt{15}$

$A_{CBD}=\frac{56h'}{2}\Rightarrow 336\sqrt{15}=\frac{56h'}{2}\Rightarrow h'=12\sqrt{15}$

Sendo os dois triângulos coloridos semelhantes teremos:

$\frac{PA}{PC}=\frac{1029\sqrt15}{112}.\frac{1}{12\sqrt{15}}\Rightarrow \frac{PA}{PC}=\frac{49}{64}$

Alternativa:E

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