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Segundo Grau IV

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Mensagem por William Lima Ter 01 Jul 2014, 05:29

Se [Você precisa estar registrado e conectado para ver esta imagem.], o número de raízes reais da equação é igual a:

A)0
B)2
C)4
D)6
E)8

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Mensagem por Robson Jr. Qui 03 Jul 2014, 17:52

Como é inviável expandirmos (x2 - 9x - 1)10, o termo (x2 - 9x -1) dificilmente desaparecerá da equação. Já que seremos obrigados a trabalhar com ele, seria interessante fazê-lo aparecer novamente. O (x² - 1) já presente no lado direito é bem sugestivo:

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Agora, seja a mudança de variável (x² - 9x - 1) = y:

[Você precisa estar registrado e conectado para ver este link.]

Com os 9 termos em mente, não é difícil ver que y = x anula o segundo fator. Dividindo novamente por (y - x):

[Você precisa estar registrado e conectado para ver este link.]

O novo segundo fator não possui raízes reais. ***

Quanto ao novo primeiro fator:

[Você precisa estar registrado e conectado para ver este link.]

Como ambas as raízes são duplas, há um total de 4 raízes reais.

***: Estou sem ideias para demonstrar esta afirmação. Você tem alguma, William?
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Mensagem por Luck Qui 03 Jul 2014, 21:43

Boa solução Robson, tb não tive ideia para provar ***, mas consegui resolver por outro caminho:
x² - 9x - 1 = x(x -9 -(1/x)) ∴ (x²-9x-1)^10 = (x^10)(x-9-(1/x))^10

(x²-9x-1)^10 + 99x^10 = (10x^9)(x²-1)
(x^10)(x -9-(1/x))^10 + 99x^10 = (10x^10)(x - (1/x))
(x -9 -(1/x))^10 + 99 = 10(x - (1/x)) , x# 0 ( x = 0 não é solução).
seja x - (1/x) = t
(t - 9)^10 + 99 = 10t
t - 9 = a
a^10 + 99 = 10(a + 9)
a^10 -10a + 9 = 0
é fácil ver que a = 1 é raíz
x - (1/x) = 10
x = 5 ± √26

P'(a) = 10a^9 -10 , P'(1) = 0 , P''(1) # 0 , então 5 ± √26 são raízes duplas.
se a # 1 , seja a = b + 1 , com b ∈ ℝ*.
(1+b)^10  = 10(b+1) - 9
(1+b)^10 = 1 + 10b
para b < -1, como o expoente é par (1+b)^10 > 1 + 10b
para b > -1, e sendo b # 0, n > 1, pela desigualdade de Bernoulli:
(1+b)^10 > 1 + 10b
Logo, há apenas 4 raízes reais.
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Mensagem por Robson Jr. Qui 03 Jul 2014, 22:30

Muito bom, Luck  Very Happy
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