Funções trigonométricas;Soluções

Pessoal.. Como devo proceder para realizar essa questão? Meu número de soluções não está batendo com o do gabarito.  
Qual o número de soluções da equação cos²x+senx-1=0 , considerando x um arco pertecente ao intervalo [0,2pi]

Acontece que o grande lance dessa questão está em saber a fórmula:

sen²x + cos²x = 1

Exemplo de aplicação com x = 60 graus:



Beleza, agora...

sen²x + cos²x= 1
cos²x = 1 - sen²x

Substituindo:
1 - sen²x + senx - 1 = 0
- sen²x + senx = 0
- sen²x.(-1) = - senx .(-1)
sen²x = senx
senx.senx = senx
senx = senx/senx
senx = 1

O único valor de X para que senx = 1 é pi/2 (90 graus) e seus côngruos (ou seja, pi/2 + 2pi.n ou, melhor dizendo, 90 + 360n, sendo n um número inteiro). Como o intervalo é entre 0 e 2pi, o único valor para x no caso é mesmo pi/2 (90 graus!). Confere? Hehe

Sabendo da relação:



Podemos substituir na equação principal e ficamos com



Agora vamos fazer a substituição



Dai ficamos com



Tirando em evidência y



Dai temos duas soluções



Agora é só voltar pro seno



Que vamos ter 4 valores possíveis


e se



portanto



4 possibilidades de valor para X nessa questão

Kobalt42 escreveu:Acontece que o grande lance dessa questão está em saber a fórmula:

sen²x + cos²x = 1

Exemplo de aplicação com x = 60 graus:



Beleza, agora...

sen²x + cos²x= 1
cos²x = 1 - sen²x

Substituindo:
1 - sen²x + senx - 1 = 0
- sen²x + senx = 0
- sen²x.(-1) = - senx .(-1)
sen²x = senx
senx.senx = senx
senx = senx/senx
senx = 1

O único valor de X para que senx = 1 é pi/2 (90 graus) e seus côngruos (ou seja, pi/2 + 2pi.n ou, melhor dizendo, 90 + 360n, sendo n um número inteiro). Como o intervalo é entre 0 e 2pi, o único valor para x no caso é mesmo pi/2 (90 graus!). Confere? Hehe

Retifico!

De fato, o valor senx = 0 também cabe.
Até porque:

senx.senx = senx
0.0 = 0
E
senx = senx/senx
0 = 0/0* - sendo que, nesse caso, 0/0 é uma indeterminação matemática.

Admitindo, como bem disse o colega acima, senx = 0 ou 1

senX = 0 => 0, pi (180 graus), 2pi (360 graus, que é côngruo de 0, já que 0 + 360.1 = 360)
senX = 1 => pi/2 (90 graus)

Logo, quatro soluções. Tomei a liberdade de criar um gráfico para a função f(t) = - sen²x + senx usando o programa Geogebra. Tenho a imagem, mas vide regra, não posso postar até ter 7 dias de registro no fórum, então, se tiver a curiosidade, pode requisitar por MP. Demonstro praticamente a prova de - sen²x + senx = 0 ter 4 soluções no intervalo [0, 2pi]. Um abraço, e perdoe o erro.

Kobalt42 escreveu:

Kobalt42 escreveu:Acontece que o grande lance dessa questão está em saber a fórmula:

sen²x + cos²x = 1

Exemplo de aplicação com x = 60 graus:



Beleza, agora...

sen²x + cos²x= 1
cos²x = 1 - sen²x

Substituindo:
1 - sen²x + senx - 1 = 0
- sen²x + senx = 0
- sen²x.(-1) = - senx .(-1)
sen²x = senx
senx.senx = senx
senx = senx/senx
senx = 1

O único valor de X para que senx = 1 é pi/2 (90 graus) e seus côngruos (ou seja, pi/2 + 2pi.n ou, melhor dizendo, 90 + 360n, sendo n um número inteiro). Como o intervalo é entre 0 e 2pi, o único valor para x no caso é mesmo pi/2 (90 graus!). Confere? Hehe

Retifico!

De fato, o valor senx = 0 também cabe.
Até porque:

senx.senx = senx
0.0 = 0
E
senx = senx/senx
0 = 0/0* - sendo que, nesse caso, 0/0 é uma indeterminação matemática.

Admitindo, como bem disse o colega acima, senx = 0 ou 1

senX = 0 => 0, pi (180 graus), 2pi (360 graus, que é côngruo de 0, já que 0 + 360.1 = 360)
senX = 1 => pi/2 (90 graus)

Logo, quatro soluções. Tomei a liberdade de criar um gráfico para a função f(t) = - sen²x + senx usando o programa Geogebra. Tenho a imagem, mas vide regra, não posso postar até ter 7 dias de registro no fórum, então, se tiver a curiosidade, pode requisitar por MP. Demonstro praticamente a prova de - sen²x + senx = 0 ter 4 soluções no intervalo [0, 2pi]. Um abraço, e perdoe o erro.

Obrigado de mesma maneira , o que vale é a intenção!   

ga-amaral escreveu:

Sabendo da relação:



Podemos substituir na equação principal e ficamos com



Agora vamos fazer a substituição



Dai ficamos com



Tirando em evidência y



Dai temos duas soluções



Agora é só voltar pro seno



Que vamos ter 4 valores possíveis


e se



portanto



4 possibilidades de valor para X nessa questão 

Ah simm! Obrigado.. Estava fazendo de maneira diferente (Bhaskhara) ..Havia esquecido dessa relação.Por isso que não estava dando certo , acredito..rsrs..