Equações Imediatas

por pertinax Sex 06 Jun 2014, 16:13

Boa tarde pessoal, me pareceu um exercício simples, mas não consegui resolvê-lo. Ele vem com duas questões, em que há uma enorme história (que não faz falta para se resolver o exercício). Bem, aqui vão elas:
a) cos x/1-cos x - 1/cos x=-1
b) 2 sen x. cos x= sen x

Agradeço a atenção Wink

por PedroCunha Sex 06 Jun 2014, 16:30

Olá.

Letra a:

cosx/(1-cosx) - 1/cosx = -1 .:. cos²x - 1 + cosx = -cosx*(1-cosx) .:.
cos²x -1 + cosx = -cosx + cos²x .:. 2cosx = 1 .:. cosx = 1/2 .:.
x = pi/3+ 2kpi ou x = 5pi/3 + 2kpi

Letra b:

2senx*cosx = senx .:. 2senx*cosx - senx = 0 .:. senx*(2cosx-1) = 0

senx = 0 .:. x = 2kpi ou x = pi + 2kpi
2cosx = 1 .:. cosx = 1/2 .:. x = pi/3 + 2kpi ou x = 5pi/3 + 2kpi

Creio que seja isso.

por pertinax Sex 06 Jun 2014, 18:33

A resposta do A está correta amigo, porém ele só dá o 5pi/3, pois creio eu que o seno seja negativo (não compreendi esse 2kpi). Já a do B não está, o gabarito me dá x= pi ou x= 5pi/3 ou x= 2pi. Agradeço sua atenção e a de qualquer um que se prontifique a me auxiliar nesse problema.

por PedroCunha Sex 06 Jun 2014, 18:47

Então a parte do enunciado que você retirou fez falta. Só faz sentido não ter os '2kpi' na resposta se o intervalo dado for [0,2pi].

Para comprovar que pi/3 serve para a letra a:

(cos pi/3)/(1 - cos pi/3) - 1/cos pi/3 = -1 .:. (1/2)/(1 - 1/2) - 1/(1/2) = -1 .:. 1 - 2 = -1 .:.
-1 = -1

Para a letra b:

x = 2pi ou x = 0 (caso x = 2kpi) vai dar na mesma, uma vez que sen 0 = sen 2pi:

2*senx*cosx = senx .:. 2*sen0*cos0 = sen0 .:. 0 = 0
2*sen(pi/3)*cos(pi/3) = sen(pi/3) .:. 2*(√3/2)*1/2 = √3/2.:. √3/2 = √3/2

vê?

o 2kpi indica que a solução dada é a solução geral, o que é o certo a se fazer, uma vez que não foi dado nenhum intervalo.

por pertinax Sex 06 Jun 2014, 21:16

Desculpa, realmente o intervalo era este [0,2pi], mas como eu chegaria a conclusão que devo incluir x=0 no exercício B? Não há nada no complemento na questão que ajude, pra falar a verdade, o enunciado é uma explicação de como se medir senos e cossenos.

por PedroCunha Sex 06 Jun 2014, 22:23

Olá.

Bom, depende da convenção. Porque é como eu te falei, na realidade, 0° = 360° nesse caso, a depender do sentido adotado.

por pertinax Sáb 07 Jun 2014, 10:34

É o sentido horário mesmo. Mas ainda continuo sem entender como uma equação dessas pode resultar em pi (180º), 2pi (360º) e 5pi/3 (300º) ao mesmo tempo. Poderia me explicar melhor?

por PedroCunha Sáb 07 Jun 2014, 11:11

Bom, uma equação pode ter várias soluções.

Uma solução nada mais é um valor que 'zera' uma equação. Se pi,2pi e 5pi/3 zeram a equação, então as três são soluções.

por pertinax Sáb 07 Jun 2014, 14:19

Mas como chego em pi e 2pi nesse caso? E por que da exclusão do pi/3 se não há especificação de setor?

por PedroCunha Sáb 07 Jun 2014, 14:28

Eu não exclui o pi/3.

2senx*cosx = senx .:. 2senx*cosx - senx = 0 .:. senx*(2cosx-1) = 0

senx = 0 .:. x = 0 ou x = pi ou x = 2pi
2cosx = 1 .:. cosx = 1/2 .:. x = pi/3 ou x = 5pi/3

Considerando o intervalo [0,2pi] fica assim.