Trigonometria

por caioleite21 Seg 02 Jun 2014, 21:37

Uma praça tem a forma de um pentágono regular com 10 m de lado. Em volta dessa praça, foi construída uma calçada de largura constante 2 m, conforme mostra a figura:

Trigonometria Zo6ngj

O perímetro externo dessa calçada é:
a) 9(6 + tg 54º)
b) 3(20 - 3 cos 54º)
c) 20(3 + 2 sen 36º)
d) 10(5 + 2 tg 36º)
e) 10(5 + 2 tg 54º)

gabarito:

por **Elcioschin** Seg 02 Jun 2014, 22:36

Seja O o centro do círculo inscrito no pentágono menor (raio r)
Sejam ABCDE e A'B'C'D'E' os pentágonos menor e maior
Seja M o ponto médio de AB ---_> AM + BM + 5

AÔB = 72º ----> AÔM = BÔM = 36º

AM = OA.sen36º ---> R,.sen36º = 5

Seja H o pé da perpendicular baixada de A sobre A'B' ----> A'AH = 36º

AA'.cos36º = 2 ----> AA' = 2/cos36º

A'H = AA'.sen36º ---> A'H = (2/cos36º).sen36º A'H = 3.tg36º

A'B' = AB + 2.A'H ----> A'B' = 10 + 2.(2.tg26º) ---> A'B' = 2.(5 + 2.tg36º)

Perimetro = 5.A'B' = 5.2.(5 + 2.tg36º) = 10.(5 + 2.tg36º)

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