Binomio de Newton III

por L.Lawliet Sex 30 maio 2014, 22:03

Qual o termo central de $\left ( x^{2n}+x^{-2n}+2 \right )^{2n}$ , sendo este equivalente à: $\frac{(4n)!}{(12-n)!(5n-12)!}$

A resposta é: $\binom{16}{8}$

por L.Lawliet Sex 30 maio 2014, 22:07

Eu não sei escrever numeros combinatórios LaTeX, mas a resposta está escrita em numero combinatorio C(16);(7+1)onde o (16) está na parte superior e (7+1)na parte inferior.

C(s);(i) = [ (s!)/(i!).(s-i)! ]

Ps. Eu coloquei (7+1) por que quando colocava 8 aparecia o emoticon ( Cool

por Luck Sáb 31 maio 2014, 02:12

x^(2n) + (1/x^(2n)) = ( x^n + (1/x^n) )² - 2
Então (x^(2n) + x^(-2n) + 2)^(2n) = (x^n + (1/x^n))^(4n)
T(k+1) = C(4n,k).[(x^n)^(4n-k)][(1/x^n)^k]
O termo central é o termo 2n+1, então k + 1 = 2n+ 1 ∴ k = 2n
T(2n+1) = C(4n,2n).[(x^n)^(2n)][(1/x^(n)^(2n)]
T(2n+1) = C(4n,2n)
4n!/(12-n)!(5n-12)! = C(4n,5n-12)

C(4n,2n) = C(4n,5n-12)
2n = 5n-12 ∴ n = 4
Logo, C(16,8) é o termo central.

ps. para não aparecer emoticon quando for postar, antes de enviar na parte inferior marque "Desativar os Smileys nesta mensagem".. mas de preferência use latex mesmo que fica melhor para entender.