Indução
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Indução
por jarry15 Sex 09 maio 2014, 12:58
Para n ∈ ℕ* e n≥2 prove que:
Preciso de uma luz em indução com desigualdade.
Preciso de uma luz em indução com desigualdade.
jarry15- Recebeu o sabre de luz
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Re: Indução
por Luck Seg 12 maio 2014, 17:06
Para n = 2: 1 + (1/√2) > √1 , ok.
Supondo válido para n:
1 + (1/√2) + (1/√3) + ... + (1/√n) > √n , (I)
n --> n+1 :
1 + (1/√2) + (1/√3) + ... + (1/√n) + (1/√(n+1) ) > √(n+1) , (tese)
somando 1/(√(n+1)) em (I) :
1 + (1/√2) + (1/√3) + ... + (1/√n) + (1/√(n+1) ) > √n + (1/√(n+1))
então basta verificar se a desigualdade √n + (1/√(n+1)) ≥ √(n+1) é verdadeira.
como tudo é positivo podemos elevar ao quadrado:
n + (1/(n+1)) + 2(√[n/(n+1)]) ≥ n + 1
2√[n/(n+1)] ≥ 1 - (1/(n+1))
2√[n/(n+1)] ≥ n/(n+1)
√[n/(n+1)] ≤ 2 , o que é verdade sempre, logo:
1 + (1/√2) + (1/√3) + ... + (1/√n) + (1/√(n+1) ) > √(n+1) , c.q.d
Supondo válido para n:
1 + (1/√2) + (1/√3) + ... + (1/√n) > √n , (I)
n --> n+1 :
1 + (1/√2) + (1/√3) + ... + (1/√n) + (1/√(n+1) ) > √(n+1) , (tese)
somando 1/(√(n+1)) em (I) :
1 + (1/√2) + (1/√3) + ... + (1/√n) + (1/√(n+1) ) > √n + (1/√(n+1))
então basta verificar se a desigualdade √n + (1/√(n+1)) ≥ √(n+1) é verdadeira.
como tudo é positivo podemos elevar ao quadrado:
n + (1/(n+1)) + 2(√[n/(n+1)]) ≥ n + 1
2√[n/(n+1)] ≥ 1 - (1/(n+1))
2√[n/(n+1)] ≥ n/(n+1)
√[n/(n+1)] ≤ 2 , o que é verdade sempre, logo:
1 + (1/√2) + (1/√3) + ... + (1/√n) + (1/√(n+1) ) > √(n+1) , c.q.d
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