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Bahiana - Geometria Espacial

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Mensagem por PedroCunha Sáb 26 Abr 2014, 02:20

Olá, amigos.

Os antioxidantes são um dos grandes chamarizes das indústrias de cosméticos e suplementos alimentares, que alegam que essas substâncias têm a propriedade de combater os chamados radicais livres, que provocariam o envelhecimento. Considere a embalagem de um determinado cosmético projetada com a forma de um cone reto representado na figura, de altura Bahiana - Geometria Espacial Mathtexcm e cuja base é uma elipse com eixos maior e menor medindo, em cm, Bahiana - Geometria Espacial Mathtexe Bahiana - Geometria Espacial Mathtex, respectivamente, e área dada por Bahiana - Geometria Espacial Mathtex. Sendo Bahiana - Geometria Espacial Mathtexe Bahiana - Geometria Espacial Mathtexe supondo que a embalagem tenha capacidade para a Bahiana - Geometria Espacial Mathtexml, determine os valores de Bahiana - Geometria Espacial Mathtexe Bahiana - Geometria Espacial Mathtex.

Bahiana - Geometria Espacial Xfile.php,qid=14581.pagespeed.ic.KiFHJ5hjH7Clique na imagem para fixá-la na tela.


Minha tentativa ( não possuo gabarito ):

No triângulo retângulo formado por Bahiana - Geometria Espacial Mathtex, a metade da base e a altura do cone:

Bahiana - Geometria Espacial Mathtex

Aplicando Pitágoras para encontrar a altura:

Bahiana - Geometria Espacial Mathtex

Aplicando a fórmula do volume e encontrando Bahiana - Geometria Espacial Mathtex:

Bahiana - Geometria Espacial Mathtex

Alguém poderia confirmar se fiz corretamente?

Fiquei em dúvida também pois ao fazer da seguinte maneira:

Bahiana - Geometria Espacial Mathtex

Substituindo encontro 4 valores diferentes para Bahiana - Geometria Espacial Mathtex.

Enfim... agradeço a atenção.

Abraços,
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Mensagem por PedroCunha Sáb 26 Abr 2014, 11:11

Up!
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Mensagem por Medeiros Sáb 26 Abr 2014, 12:51

Pedro, não verifiquei o cálculo de b, porém quanto ao resto não vejo incoerência alguma.

a = 2.(√15 - √5) ................ ok

h = 2.√(20 + 10√3) = 2.(√15 + √5) = 40/a ............. ok
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Mensagem por PedroCunha Sáb 26 Abr 2014, 12:56

Está certo?

Valeu, Medeiros!
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Mensagem por PedroCunha Sáb 26 Abr 2014, 13:16

Medeiros, me restaram algumas dúvidas:

Um colega levantou a questão: o que garante que MN é o eixo maior?

Creio que seja uma afirmação que podemos fazer, não?

Fazendo da segunda maneira que falei, encontro 4 valores para a, descarto as 2 negativas, mas ainda sobram duas. Como escolher? Não só isso, mas dependendo de quem eu isolar na equação, a tem dois valores diferentes. O enunciado não deveria ter informado alguma condição, do tipo, h > a ou vice-versa?

Agradeço a atenção.

Abraços,
Pedro
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Mensagem por Luck Sáb 26 Abr 2014, 13:50

PedroCunha escreveu:Medeiros, me restaram algumas dúvidas:

Um colega levantou a questão: o que garante que MN é o eixo maior?

Creio que seja uma afirmação que podemos fazer, não?

Fazendo da segunda maneira que falei, encontro 4 valores para a, descarto as 2 negativas, mas ainda sobram duas. Como escolher? Não só isso, mas dependendo de quem eu isolar na equação, a tem dois valores diferentes. O enunciado não deveria ter informado alguma condição, do tipo, h > a ou vice-versa?

Agradeço a atenção.

Abraços,
Pedro
entende-se que MN é o eixo maior pela figura dada mesmo..
fazendo do outro jeito vc vai chegar na equação a^4 - 160a² + 1600 = 0
de raízes a² = 40(2-√3) e a² = 40(2+√3)
sendo h² = 40(2+√3) , se a² = 40(2+√3) o triângulo VMO seria isóceles, então θ/2 = 45º, não serve , já que θ/2 = 15º
Então a² = 40(2-√3) ∴ a = √(40(2-√3))
vc poderia tb ter aplicado lei dos cossenos no triângulo VMN e ia obter direto a = √(40(2-√3))
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Mensagem por PedroCunha Sáb 26 Abr 2014, 14:03

Entendi.

Então está correto da primeira maneira que fiz?
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Mensagem por Luck Sáb 26 Abr 2014, 14:07

PedroCunha escreveu:Entendi.

Então está correto da primeira maneira que fiz?
Sim, no final dá o mesmo valor, já que 2(√15 - √5) = √(40(2-√3)) e 2√(20+10√3) = √(40(2+√3))
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Mensagem por PedroCunha Sáb 26 Abr 2014, 14:10

Valeu, Luck!
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Mensagem por Medeiros Sáb 26 Abr 2014, 16:37

Voltei somente agora, Pedro.
O que nos garante que a é o semi-eixo maior é o próprio enunciado:
"... cuja base é uma elipse com eixos maior e menor medindo, em cm, Bahiana - Geometria Espacial Mathtexe Bahiana - Geometria Espacial Mathtex, respectivamente,...".

A figura dada indica o ângulo theta sobre o eixo maior.
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