Poliedros - Dodecaedro Truncado

O poliedro abaixo (dodecaedro truncado) é construído a partir de um
dodecaedro regular, cortando-se em cada um de seus vértices uma
pirâmide regular de base triangular. A soma dos ângulos de todas as
faces do dodecaedro truncado é

a) 6480º
b) 10800º
c) 20880º
d) 31680º
e) 35800º

Gabarito C.

Por favor, preciso compreender a resolução.
Grato!

Olá MathTeacher, primeiramente você deve entender que o conceito de truncadura é simplesmente cortar as bordas das faces do poliedro e ao mesmo tempo as deixando com lados regulares. No caso do dodecaedro é fácil de ver que se cortar cada um das 5 bordas de suas faces você fica com faces decagonais. Logo, é simples entender que haverão 12 decágonos regulares após a truncadura. Pela fórmula: Si = (n-2)*180 => Si = 1440. Como são 12 decágonos Si = 17280. Agora vem a parte mais complicada, obviamente com todos esses cortes sobra alguma coisa, estas sobras são os triângulos equiláteros (no caso da nosso poliedro, 5 para cada decágono). O problema é que devemos saber a quantidade total de triângulos do poliedro para finalizar a questão, um método que acho pratico é "abrir" o poliedro para uma visualização didática, veja: 

É uma representação totalmente sem escala e um pouco confusa a primeira vista, mas tente entender (observe pelo .gif também):




1º - Considere o poliedro com uma base e um topo, que são representados na figura pelas 2 linhas verticais, e cada traço na linha é um triangulozinho (5 em cada). Cada linha vermelha é uma ligação entre um triângulo e uma face, note que para a base e para o topo cada triângulo faz 2 ligações ou seja você só precisa contar 1 vez. Temos então 10 triângulos (5 embaixo e 5 em cima).

2º - Agora considere as bolinhas no meio do desenho como um decágono cada, pelas ligações com a base ou com o topo já tinhamos contados 2 triângulos, ficamos agora com 3. Tente visualizar pelo .gif que no meio do poliedro temos vários triângulos para cima e para baixo sendo "ligados", estes triângulos estão no representados no desenho. Como o desenho é bidimensional veja que o último triângulo à direita encaixa com a primeira face à esquerda. Finalmente, pelo desenho é só contar, mais 10 triângulos.

TOTAL DE TRIÂNGULOS = 20 
ÂNGULOS DO TRIÂNGULO * 20 = 180 * 20 = 3600
Si + Triângulos = 17280 + 3600 = 20880º

Alternativa C

Lembrando que o problema não é extenso, as contas são simples. Você só precisa compreender como se alcança o número de triângulos, que depois do entendimento fica muito fácil.