lançamento de projétil

Se um projétil é lançado e sua trajetória descreve uma parábola cuja equação é dada abaixo, determine a altura máxima atingida por esse projétill sabendo-se que "x" e "y" são medidos em metros.


y= -x²+ 20x + 1

y= -4x² + 32x

y= -3x² +12x + 1

y= 8x - 2x²

Obs: confesso que não como fazer essa questão, por favor me dá uma ajuda,pois é uma questão interessante.

São todas parábolas com a concavidade voltada para baixo. O valor máximo dessas parábolas ocorre no seu vértice:

ax²+bx+c=0

tem o vértice em x=-b/2a e o valor máximo/mínimo em y=∆/4a

Professor Euclides, na questão pede pra determinar a altura máxima, nesse caso será que tenho apenas que aplicar a fórmula dada utilizando apenas as equações em cada uma delas? pois confesso que não entendi bem  o que a questão quer em relação aos dados.

Carlos Lima, a concavidade da parábola, numa equação quadrática (de segundo grau), é determinada pelo sinal do coeficiente de a (levando em consideração a forma geral da equação quadrática, ax² + bx + c, a =/= 0). A concavidade está para baixo se a < 0. Em todas as equações apresentadas a é menor do que 0.

Concorda comigo que, se a concavidade está para baixo (imagine uma parábola qualquer com a concavidade para baixo, ela certamente vai satisfazer a situação), tem um ponto "lá em cima", um ponto mais alto do que todos os outros? Como se fosse o pico de uma montanha perfeitamente parabólica? Lembre-se disso.

Como x e y são medidos em metros (desenhe um gráfico cartesiano ortogonal; então as abscissas e as ordenadas são medidas em metros), então tanto x quanto y são medidas de espaço. Digamos que y seja a medida da "altura" que o projétil alcançou e que x seja a distância em relação ao chão que ele percorreu até alcançar aquela altura.

O que a questão pede é o "pico da montanha", o ponto máximo da parábola. Você lembra que ela tinha concavidade para baixo, então ela tinha um ponto mais alto do que todos? Então com certeza ela tem um máximo, "um pico", o ponto mais alto que o projétil alcançou.

O que ele pede é o quanto o projétil andou em relação ao "solo" (em relação ao eixo X, que é medida de espaço) quando alcançou a altura máxima, o "pico", que é o maior ponto alcançado em y.
Assim, usando as fórmulas, realmente é só aplicar Yv (y do vértice, que é o 'pico') e Xv (X do vértice, a distância percorrida em relação ao "solo" quanto o projétil chegou em Yv, que é a altura máxima).
Yv = -Delta/4a e Xv = -b/4a.

Mais importante do que simplesmente aplicar a fórmula é você entender "o que está acontecendo". É uma análise crítica da questão e uma utilização pragmática da matemática. Tente entender que é uma análise gráfica do movimento do projétil; quanto mais alto ele está, com certeza ele teve que se movimentar em relação ao eixo x (em relação ao solo) para chegar numa altura maior.
Imagine só um avião "convencional" que decolasse, subisse e, sem fazer curva alguma, voltasse para a posição inicial. Absurdo, pelo que concebemos hoje. Ele tem que pousar numa região mais "para frente" em relação ao eixo x.


Resolvendo sua questão:

y= -x²+ 20x + 1
Delta= 400 - 4 (-1) (1) = 404.
Yv = -Delta/4a = -404/4.(-1) = -404/-4 = 404/4 = 101 m
Xv = -b/2a = -20/2.(-1) = -20/-2 = 20/2 = 10 m
(Lembre-se que tanto Xv quanto Yv são dados em metros, pois são medidas de espaço, o espaço em relação ao eixo x e a altura do eixo y, respectivamente).

y= -4x² + 32x [Note que c = 0]
Delta = 32² - 4. (-4) . (0) = 32² = 1024
Yv = -Delta/4a = -1024/4.(-4) = -1024/-16 = 1024/16 = 64 m
Xv = -b/2a = -32/2.(-4) = -32/-8 = 32/8 = 4 m

y= -3x² +12x + 1
Delta = 12² - 4. (-3). (1) = 144 + 12 = 156
Yv = -Delta/4a = -156/4.(-3) = 13 m
Xv = -b/2a = -12/2.(-3) = -12/-6 = 12/6 = 2 m

y= 8x - 2x² [Note que c = 0 e que ele só inverteu a posição do a, colocando-o como segundo termo]
Delta = 8² - 4. (-2). (0) = 8² = 64
Yv = -Delta/4a = -64/4.(-2) = -64/-8 = 64/8 = 8 m
Xv = -b/2a = -8/2.(-2) = -8/-4 = 8/4 = 2 m