Geometria Plana - Triângulos

Relembrando a primeira mensagem :

Na figura abaixo, ABCD é um quadrilátero onde AD =BC, DAB =80 e CBA =40 e DPC é equilátero. Calcule o perímetro do triângulo APB sabendo que AB = 8 cm.

Refazendo.
Da 1a vêz não fui conclusivo.
- admitindo que A^DC é reto- 
- tracemos  CF  paralelo  a AD e Af paralelo a   DC, de modo a formar o retângulo ADCF-
- do quadrilátero ADCB temos que F^CB=360-(90+80+40+90)=60º
- Veja que B^CP==A^DP=150º e conseq. os triângs  ADP ~BCP  (LAL).
Q do problema:
 
- do enunciado temos AD=BC ,e  por construção temos CF=BC , mas se CP=AD então CP=BC, conseq. BCF é isósceles. CF=BC , assim C^FB=C^BF=(180-60)/2=2=60 . Na verdade então BCF é um triâng. equilátero, e E^BF=20 e PÂE=180-(150+20)=10º.
- Assim chegamos a conclusão  que os triângs ADP,BCP e ABP são congruentes.
Finalmente temos que APB é equilátero de lado 8 e perímetro=3.8=24cm

raimundo pereira escreveu:

Refazendo.
Da 1a vêz não fui conclusivo.
- admitindo que A^DC é reto- 
- tracemos  CF  paralelo  a AD e Af paralelo a   DC, de modo a formar o retângulo ADCF-
- do quadrilátero ADCB temos que F^CB=360-(90+80+40+90)=60º
- Veja que B^CP==A^DP=150º e conseq. os triângs  ADP ~BCP  (LAL).
Q do problema:
 
- do enunciado temos AD=BC ,e  por construção temos CF=BC , mas se CP=AD então CP=BC, conseq. BCF é isósceles. CF=BC , assim C^FB=C^BF=(180-60)/2=2=60 . Na verdade então BCF é um triâng. equilátero, e E^BF=20 e PÂE=180-(150+20)=10º.
- Assim chegamos a conclusão  que os triângs ADP,BCP e ABP são congruentes.
Finalmente temos que APB é equilátero de lado 8 e perímetro=3.8=24cm

Obrigado , não tinha entendido a última parte , mas ficou claro .

Exercício muito bom, segue outro modo.
Embora ache que sigo a mesma linha da solução do colega J.Honório acima, não consegui acompanhar a resolução dele, então posto a minha bem explicadinha.

As indicações de segmentos congruentes e nomes dos ângulos estão no desenho -- detesto aquela sopa de letrinhas quando referimos muitos ângulos pelos pontos, evito ao máximo.



(*)
Então, rotacionando a barra BC em torno de B, no sentido horário, de um ângulo alfa, o ponto C assume a posição C' sobre o segmento BP. Analogamente, D assume a posição D' sobre AP. Ainda, nesta manobra os triângulos congruentes ADP e BCP somem ficando apenas os  segmentos PA e PB. (tá certo que o ponto P é deslocado, pois as barras do triângulo equilátero PCD são rígidas, mas isto não interessa agora).
Ora
AD' + D'P = BC' + C'P
portanto o novo triângulo ABP é isósceles de base AB. Assim, os ângulos da base (beta) são iguais.