Lei de Fourier

por Roberta7 Sex 28 Fev 2014, 20:03

Há duas barras A e B, de diferentes materiais e secções retas iguais. Se as condutividades térmicas delas são k1 e k2, a condutividade térmica da composição é:

GABARITO: (k1+k2)/2

por **VictorCoe** Sex 28 Fev 2014, 20:50

Bem, faltaria informar como os materiais estão ajustados com o fluxo de calor , para que a composição final do material seja o que queríamos.

Caso 01: Materiais em paralelo (na vertical) recebendo um fluxo na horizontal.

Como os materiais tem secção retas iguais, temos que o fluxo térmico para um material é:

δ1=k1.A.∆T/L

E para um segundo material:

δ2=k2.A.∆T/L

Logo, o fluxo total que gerará um novo material com condutividade k é:

δt=k.2A.∆T/L (A área será 2A porque o fluxo total pegará os dois materiais, e L porque a corrente do fluxo andará apenas L)

Mas δt=δ1+δ2, logo:

k.2A.∆T/L=k1.A.∆T/L+k2.A.∆T/L

k.2=k1+k2 ⇒ k=(k1+k2)/2

Ou seja, o novo material k será a média aritmética dos materiais k1 e k2 usados para formá-lo.
Caso 02: Materiais em série (na horizontal) recebendo um fluxo na horizontal.

Temos que a mesma quantidade de fluxo térmico será aplicada a todos os materiais, logo,

δt=δ1=δ2

Igualando δ1 a δ2, temos :

k1.A.(θ'-θ1)/L=k2.A.(θ2-θ')/L

⇒ k1.(θ'-θ1)=k2.(θ2-θ')

Resolvendo a equação, achamos que θ'=(k1θ1+k2θ2)/(k1+k2) , sabendo θ', podemos achar o novo material k que queremos:

δt=δ1

⇒ k.A.(θ2-θ1)/2L=k1.A(θ'-θ1)/L

⇒ k.(θ2-θ1)/2=k1.(θ'-θ1)

⇒ k.(θ2-θ1)/2=k1.((k1θ1+k2θ2)/(k1+k2)-θ1)

⇒ k.(θ2-θ1)/2=k1.(k1θ1+k2θ2-k1θ1-k2θ1)/(k1+k2)

⇒ k.(θ2-θ1)/2=k1.k2(θ2-θ1)/(k1+k2)

⇒ k/2=k1.k2/(k1+k2) ∴ k=2k1.k2/(k1+k2)

Ou seja, o novo material k será a média harmônica dos materiais k1 e k2 que foram usados para formá-lo.

por Roberta7 Sex 28 Fev 2014, 21:02

Muito obrigada Victor, resolução perfeita. Realmente faltou a figura, me desculpe, não consegui postar de jeito nenhum, mas são duas barras "coladas" na horizontal e o sentido do fluxo não foi informado, mas acho que é da esquerda para a direita pq primeiro está T1 e dps T2. Nunca havia feito uma questão desse tipo e não entendi muito bem essas possibilidades delas estarem em paralelo ou em série Question

Tipo resistores?

por **Elcioschin** Sex 28 Fev 2014, 22:12

Roberta

Você está postando suas questões em lugar errado e em duplicidade:

1) Esta questão é de Termodinâmica e você postou em Mecânica Geral

2) E postou uma questão de Matemática - Álgebra Conjuntos no tópico de Mecânica!!!

Por favor tome mais cuidado nas postagens
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