Simplifique

Simplifique a seguinte equação:



Gabarito:

Spoiler:

Olá.

Lembrando da seguinte fatoração:

(a-b) * (a+b)² = a³ + a²b - ab² - b³ e sendo a = √x e b = 1, temos:

(√x-1) * (√x+1)² = x^{3/2} + x*1 - √x*1² - 1³ .:. x^{3/2} + x - x^{1/2} - 1

Logo, o numerador se reduz à: (√x-1) * (√x+1)²

Agora, lembrando da fatoração (a+b)² = a² + 2ab + b², sendo a = √x e b = 1, temos:

(√x+1)² = x + 2√x*1 + 1² .:. (√x+1)² = x + 2√x + 1

Com isso, o denominador de reduz à: (√x+1)²

Temos então:

[ (√x-1) * (√x+1)² ] / (√x+1)² .:. (√x-1) = x^{1/2} - 1

Att.,
Pedro

De onde vem essa fatoração:

(a-b) * (a+b)² = a³ + a²b - ab² - b³

É aquele tipo de decorar mesmo?

Bom, é uma fatoração que você tenta buscar ao observar a equação.

Veja que:

x^{3/2} = √x³
x = (√x)²*1
x^{1/2} = √x*1²
1 = 1³

Com isso, você tenta buscar alguma fatoração cujo resultado final seja a³ + a²b - ab²-b³

Ai é só por tentativa mesmo.

Uma outra maneira é: Seja P(√x) = √x³ + √x² - √x - 1 uma equação na variável √x.

Por observação, vemos que 1 é raiz, pois 1 + 1 - 1 -1 = 0. Por Briot-Ruffini:

1| 1   1   -1  -1
    1   2    1   0 --> P(√x) = (√x-1) * (√x² +2√x + 1)

Lembrando da fatoração (agora sim, clássica): a² + 2ab + b = (a+b)², temos que:

√x² + 2√x + 1 = (√x + 1)²

E com isso: √x³ + √x² - √x - 1 = (√x-1) * (√x+1)²

É uma outra solução.

Att.,
Pedro