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Equações das retas do lado de um triângulo

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Equações das retas do lado de um triângulo Empty Equações das retas do lado de um triângulo

Mensagem por Danilevicz Seg 03 Fev 2014, 21:42

183. Determine as equações das retas que contêm os lados de um triângulo, conhecendo: 

o seu vértice A de coordenadas (-2, 4),
a reta r: 3x - 4y + 59 = 0, que contém uma altura, 
a reta s: 2x - y + 18 = 0, que contém uma bissetriz,

sendo a altura e a bissetriz relativas a dois vértices distintos. 

Resposta: 4x + 3y - 4 = 0,
y - 8 = 0, 
4x + 7y - 20 = 0

Fundamentos de Matemática Elementar 7 - Geometria Analítica - 5º Edição - Gelson Iezzi - Questão 183.
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Equações das retas do lado de um triângulo Empty Re: Equações das retas do lado de um triângulo

Mensagem por PedroCunha Seg 03 Fev 2014, 22:32

Olá.

Vamos verificar se A pertence a alguma das retas dadas:

r: 3*(-2) - 4*4 + 59 = 0 .:. 37 = 0 (X)
s: 2*(-2) - 4 + 18 .:. 10 = 0 (X)

Sendo assim, podemos fazer o seguinte desenho sem perda de generalidade:

Equações das retas do lado de um triângulo Sf65



Reta AC   Reta r 


m{AC} * m{r} = - 1 .:. m{AC} * 3/4 = -1 .:. m{AC} = -4/3


AC passa por A:


y - 4 = -(4/3) * (x + 2) .:. y - 4 = (-4x - 8 )/3 .:. 3y - 12 + 4x + 8 = 0 .:. 4x + 3y - 4 = 0


Ponto C é a interseção das retas s e AC:


2x - y + 18 = 0 (i)
4x + 3y - 4 = 0 (ii)

-2i + ii:

5y - 36 -4 = 0 .:. y = - 8, x = 5 --> C(5,8 )

Como s é bissetriz, o ângulo formado pelas retas BC e s é igual ao ângulo formado pelas retas AC e s. Lembrando da fórmula que relaciona o ângulo formado entre duas retas:

| (m - m')/(1 - m*m') |, temos:

| (m{BC} - m{s})/(1 + m{BC}*m{s}) | = | (m{AC} - m{s})/(1 + m{AC}*m{s}) |
| (m{BC} - 2)/(1 + 2m{BC}) | = | (-4/3 - 2)/(1 + 8/3) |
| (m{BC} - 2)/(1 + 2m{BC}) | = | (-10/3)/(11/3) |
| (m{BC} - 2)/(1 + 2m{BC}) | = |-2| .:. | (m{BC}-2)/(1 + 2m{BC}) | = 2

Dois casos:

m{BC} - 2 = 2 + 4m{BC} .:. -3m{BC} = 4 .:. m{BC} = -4/3 (X)
ou
m{BC} - 2 = -2 - 4m{BC} .:. m{BC} = 0

BC passa por C: y - 8 = 0 * (x+5) .:. y = 8

B é o ponto de interseção das retas BC e r:

BC:  y - 8 = 0 (iii)
 r  : 3x - 4y + 59 = 0 (iv)

4*iii + iv:

3x + 59 - 32 .:. x = -9, y = 8 --> B(-9,8 )

Reta AB passa por A e B:

m{AB} = (4 - 8 )/ (-2 + 9) .:. m{AB} = -4/7


y - 4 = -(4/7) * (x + 2)
y - 4 = (-4x - 8 )/7 .:. 7y - 28 = -4x - 8 .:. 4x + 7y - 20 = 0 

Portanto, as retas são:


4x + 3y - 4 = 0 ;
y - 8 = 0 ;
4x + 7y - 20 = 0


É isso.

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