Equações das retas do lado de um triângulo
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Equações das retas do lado de um triângulo
183. Determine as equações das retas que contêm os lados de um triângulo, conhecendo:
o seu vértice A de coordenadas (-2, 4),
a reta r: 3x - 4y + 59 = 0, que contém uma altura,
a reta s: 2x - y + 18 = 0, que contém uma bissetriz,
sendo a altura e a bissetriz relativas a dois vértices distintos.
Resposta: 4x + 3y - 4 = 0,
y - 8 = 0,
4x + 7y - 20 = 0
Fundamentos de Matemática Elementar 7 - Geometria Analítica - 5º Edição - Gelson Iezzi - Questão 183.
o seu vértice A de coordenadas (-2, 4),
a reta r: 3x - 4y + 59 = 0, que contém uma altura,
a reta s: 2x - y + 18 = 0, que contém uma bissetriz,
sendo a altura e a bissetriz relativas a dois vértices distintos.
Resposta: 4x + 3y - 4 = 0,
y - 8 = 0,
4x + 7y - 20 = 0
Fundamentos de Matemática Elementar 7 - Geometria Analítica - 5º Edição - Gelson Iezzi - Questão 183.
Danilevicz- Iniciante
- Mensagens : 36
Data de inscrição : 02/07/2012
Idade : 30
Localização : Porto Alegre - RS - Brasil
Re: Equações das retas do lado de um triângulo
Olá.
Vamos verificar se A pertence a alguma das retas dadas:
r: 3*(-2) - 4*4 + 59 = 0 .:. 37 = 0 (X)
s: 2*(-2) - 4 + 18 .:. 10 = 0 (X)
Sendo assim, podemos fazer o seguinte desenho sem perda de generalidade:
Reta AC 丄 Reta r
m{AC} * m{r} = - 1 .:. m{AC} * 3/4 = -1 .:. m{AC} = -4/3
AC passa por A:
y - 4 = -(4/3) * (x + 2) .:. y - 4 = (-4x - 8 )/3 .:. 3y - 12 + 4x + 8 = 0 .:. 4x + 3y - 4 = 0
Ponto C é a interseção das retas s e AC:
2x - y + 18 = 0 (i)
4x + 3y - 4 = 0 (ii)
-2i + ii:
5y - 36 -4 = 0 .:. y = - 8, x = 5 --> C(5,8 )
Como s é bissetriz, o ângulo formado pelas retas BC e s é igual ao ângulo formado pelas retas AC e s. Lembrando da fórmula que relaciona o ângulo formado entre duas retas:
| (m - m')/(1 - m*m') |, temos:
| (m{BC} - m{s})/(1 + m{BC}*m{s}) | = | (m{AC} - m{s})/(1 + m{AC}*m{s}) |
| (m{BC} - 2)/(1 + 2m{BC}) | = | (-4/3 - 2)/(1 + 8/3) |
| (m{BC} - 2)/(1 + 2m{BC}) | = | (-10/3)/(11/3) |
| (m{BC} - 2)/(1 + 2m{BC}) | = |-2| .:. | (m{BC}-2)/(1 + 2m{BC}) | = 2
Dois casos:
m{BC} - 2 = 2 + 4m{BC} .:. -3m{BC} = 4 .:. m{BC} = -4/3 (X)
ou
m{BC} - 2 = -2 - 4m{BC} .:. m{BC} = 0
BC passa por C: y - 8 = 0 * (x+5) .:. y = 8
B é o ponto de interseção das retas BC e r:
BC: y - 8 = 0 (iii)
r : 3x - 4y + 59 = 0 (iv)
4*iii + iv:
3x + 59 - 32 .:. x = -9, y = 8 --> B(-9,8 )
Reta AB passa por A e B:
m{AB} = (4 - 8 )/ (-2 + 9) .:. m{AB} = -4/7
y - 4 = -(4/7) * (x + 2)
y - 4 = (-4x - 8 )/7 .:. 7y - 28 = -4x - 8 .:. 4x + 7y - 20 = 0
Portanto, as retas são:
4x + 3y - 4 = 0 ;
y - 8 = 0 ;
4x + 7y - 20 = 0
É isso.
Att.,
Pedro
Vamos verificar se A pertence a alguma das retas dadas:
r: 3*(-2) - 4*4 + 59 = 0 .:. 37 = 0 (X)
s: 2*(-2) - 4 + 18 .:. 10 = 0 (X)
Sendo assim, podemos fazer o seguinte desenho sem perda de generalidade:
Reta AC 丄 Reta r
m{AC} * m{r} = - 1 .:. m{AC} * 3/4 = -1 .:. m{AC} = -4/3
AC passa por A:
y - 4 = -(4/3) * (x + 2) .:. y - 4 = (-4x - 8 )/3 .:. 3y - 12 + 4x + 8 = 0 .:. 4x + 3y - 4 = 0
Ponto C é a interseção das retas s e AC:
2x - y + 18 = 0 (i)
4x + 3y - 4 = 0 (ii)
-2i + ii:
5y - 36 -4 = 0 .:. y = - 8, x = 5 --> C(5,8 )
Como s é bissetriz, o ângulo formado pelas retas BC e s é igual ao ângulo formado pelas retas AC e s. Lembrando da fórmula que relaciona o ângulo formado entre duas retas:
| (m - m')/(1 - m*m') |, temos:
| (m{BC} - m{s})/(1 + m{BC}*m{s}) | = | (m{AC} - m{s})/(1 + m{AC}*m{s}) |
| (m{BC} - 2)/(1 + 2m{BC}) | = | (-4/3 - 2)/(1 + 8/3) |
| (m{BC} - 2)/(1 + 2m{BC}) | = | (-10/3)/(11/3) |
| (m{BC} - 2)/(1 + 2m{BC}) | = |-2| .:. | (m{BC}-2)/(1 + 2m{BC}) | = 2
Dois casos:
m{BC} - 2 = 2 + 4m{BC} .:. -3m{BC} = 4 .:. m{BC} = -4/3 (X)
ou
m{BC} - 2 = -2 - 4m{BC} .:. m{BC} = 0
BC passa por C: y - 8 = 0 * (x+5) .:. y = 8
B é o ponto de interseção das retas BC e r:
BC: y - 8 = 0 (iii)
r : 3x - 4y + 59 = 0 (iv)
4*iii + iv:
3x + 59 - 32 .:. x = -9, y = 8 --> B(-9,8 )
Reta AB passa por A e B:
m{AB} = (4 - 8 )/ (-2 + 9) .:. m{AB} = -4/7
y - 4 = -(4/7) * (x + 2)
y - 4 = (-4x - 8 )/7 .:. 7y - 28 = -4x - 8 .:. 4x + 7y - 20 = 0
Portanto, as retas são:
4x + 3y - 4 = 0 ;
y - 8 = 0 ;
4x + 7y - 20 = 0
É isso.
Att.,
Pedro
PedroCunha- Monitor
- Mensagens : 4639
Data de inscrição : 14/05/2013
Idade : 27
Localização : Viçosa, MG, Brasil
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