questão de soma de pg infinita
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questão de soma de pg infinita
Não consegui resolver essa :s
Com os pontos médios de um hexágono regular
de lado l , forma-se outro hexágono regular
inscrito no anterior. Repetindo infinitamente este
processo, obtém-se a figura a seguir.
A area da região sombreada mede:
resposta: 6l² V3 /7 u.a.
Com os pontos médios de um hexágono regular
de lado l , forma-se outro hexágono regular
inscrito no anterior. Repetindo infinitamente este
processo, obtém-se a figura a seguir.
A area da região sombreada mede:
resposta: 6l² V3 /7 u.a.
marcoscastelobranco- Recebeu o sabre de luz
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Data de inscrição : 16/08/2013
Idade : 28
Localização : Amazonas, Manaus e Brasil
Re: questão de soma de pg infinita
Seja ABCDEF o hexágono original de lado L
Seja MNPQRS o 1º hexágono interno, tal que M é ponto médio de AB e S ponto médio de FA
Seja TUVXYZ o 2º hexágono interno, tal que T é ponto médio de SM e Z ponto médio de RS
Lado 1º hexágono: L' = AM.cos30º + AS.cos30º ---> L' = (L/2).√3/2 + (L/2).√3/2 ---> L' = L.√3/2
Área da 1ª área hachurada ---> S' = 6.(AM.AS.sen120º)/2 ---> S' = 6.(L/2).(L/2).(√3/2)/2 ---> S' = (3.√3/8).L²
Lado do 2º hexágono: L" = MT.cos30º + MU.cos30º ---> L" = (L'/2).√3/2 + (L'/2).√3/2 --->
L" = [(L.√3/2)/2].(√3/2) + [(L.√3/2)/2].(√3/2) ----> L" = 3L/8 + 3L/8 ----> L" = 3L/4
Área da 2ª área hachurada ---> S" = ----> Calcule
Razão da PG infinita ---> q = S"/S'
Soma das áreas ----> ∑ = S'/(1 - q)
Seja MNPQRS o 1º hexágono interno, tal que M é ponto médio de AB e S ponto médio de FA
Seja TUVXYZ o 2º hexágono interno, tal que T é ponto médio de SM e Z ponto médio de RS
Lado 1º hexágono: L' = AM.cos30º + AS.cos30º ---> L' = (L/2).√3/2 + (L/2).√3/2 ---> L' = L.√3/2
Área da 1ª área hachurada ---> S' = 6.(AM.AS.sen120º)/2 ---> S' = 6.(L/2).(L/2).(√3/2)/2 ---> S' = (3.√3/8).L²
Lado do 2º hexágono: L" = MT.cos30º + MU.cos30º ---> L" = (L'/2).√3/2 + (L'/2).√3/2 --->
L" = [(L.√3/2)/2].(√3/2) + [(L.√3/2)/2].(√3/2) ----> L" = 3L/8 + 3L/8 ----> L" = 3L/4
Área da 2ª área hachurada ---> S" = ----> Calcule
Razão da PG infinita ---> q = S"/S'
Soma das áreas ----> ∑ = S'/(1 - q)
Última edição por Elcioschin em Ter 04 Fev 2014, 08:42, editado 1 vez(es)
Elcioschin- Grande Mestre
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Re: questão de soma de pg infinita
mestre, obrigado pela ajuda! uma dúvida , quando vc calculou a area do triangulo não esqueceu de multiplicar por 1/2 ( Area triangulo = 1/2 AB. AC . sen.a )? abraços!
marcoscastelobranco- Recebeu o sabre de luz
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Data de inscrição : 16/08/2013
Idade : 28
Localização : Amazonas, Manaus e Brasil
Re: questão de soma de pg infinita
elcio , vc pode completar a resposta , chegar no resultado ?
já tentei muito e não tá batendo , não sei se o gabarito está errado...
já tentei muito e não tá batendo , não sei se o gabarito está errado...
marcoscastelobranco- Recebeu o sabre de luz
- Mensagens : 136
Data de inscrição : 16/08/2013
Idade : 28
Localização : Amazonas, Manaus e Brasil
Re: questão de soma de pg infinita
Você tem razão: esqueci de dividir a área S' por 2 ----> Editei minha solução original
Para continuar, faça um desenho grande seguindo minhas instruções:
L"' = 2.[(L"/2).cos30º] ---> L"' = L".√3/2 ---> L"' = (3L/4).√3/2 ---> L"' = (3.√3/8 ).L
S" = 6.[(L"'/2)².sen120º/2] ---> S"' = 3.(3.√3/8 )².L².√3/2 ---> S"' = (27/128 ).L²
Calcule agora q = S"/S' e ache a soma infinita
Confira meus cálculos por favor
Para continuar, faça um desenho grande seguindo minhas instruções:
L"' = 2.[(L"/2).cos30º] ---> L"' = L".√3/2 ---> L"' = (3L/4).√3/2 ---> L"' = (3.√3/8 ).L
S" = 6.[(L"'/2)².sen120º/2] ---> S"' = 3.(3.√3/8 )².L².√3/2 ---> S"' = (27/128 ).L²
Calcule agora q = S"/S' e ache a soma infinita
Confira meus cálculos por favor
Elcioschin- Grande Mestre
- Mensagens : 71438
Data de inscrição : 15/09/2009
Idade : 77
Localização : Santos/SP
Re: questão de soma de pg infinita
valeu , Elcio ! agora deu.. ufaaa, que alívio , abraçãap!
marcoscastelobranco- Recebeu o sabre de luz
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