Polinômio 5 grau

Determine os valores de a, b, c e d de modo que o número zero seja raiz tripla do polinômio:

p(x) = 2x^(5) - 9x^(4) + ax³ + (b - 9)x² + (3c - 7)x + d

na solução que estou com dúvida, vou por em negrito o que eu não entendi.

Solução:

Se 0 é raiz tripla de p(x) então: P(x) = (x - 0)³.Q(x) = x³.Q(X)

onde Q(x) é um polinômio que não se pode anular para x = 0
Poderíamos resolver esse exercício por divisões sucessivas.No entanto é fácil perceber que devemos colocar x³ em evidência e, para que isto ocorra, os termos p(x) que possuem grau inferior a 3 devem ter coeficientes nulos.

parece uma dúvida boba, mas alguém poderia me esclarecer?

Para existir uma raiz tripla igual a zero, só podem existir termos com grau igual ou maior que 3

d = 0
3c - 7 = 0 ----> c = 7/3
b - 9 = 0 ------> b = 9

Sobra então ---> P(x) = 2.x^5 - 9.x^4 + a.x³

Caso a = 0 haveriam 4 raízes nulas, logo devemos ter a ≠ 0

Olá!

Suponha p(x), tal que p(x) = 4x^5 + 3x^4 + 6x³ + 2x² + x + 3

Agora, suponha que quiséssemos colocar o x³ em evidência. Ficaríamos com:

x³ * (4x² + 3x + 6 + ?

Veja que aqui não podemos colocar o x³ em evidência (pois caso tivéssemos x = 0, teríamos 1/x, que é uma indeterminação).

Agora, imagine que o polinômio fosse: 4x^5 + 3x^4 + 6x³ + 0x² + 0x + 0

Ou seja 4x^5 + 3x^4 + 6x³. Colocando o x³ em evidência:

x³ * (4x² + 3x + 6)

Entende? 

Agora, vou resolver utilizando Briot-Ruffini para que fique mais claro:

0| 2 -9  a  (b-9)  (3c-7)  d
0| 2 -9  a  (b-9)  (3c-7)  d --> resto nulo .:. d = 0
0| 2 -9  a  (b-9)  (3c-7) --> resto nulo .:. 3c - 7 = 0 .:. c = 7/3 
    2 -9  a  (b-9) --> resto nulo .:. b - 9 = 0 .:. b = 9

Percebeu que quando zero é raiz, os coeficientes se mantém e apenas o último, por ser o resto, é nulo. É por que isso que, por exemplo, se 0 for raiz dupla, devemos ter os coeficientes dos termos de grau inferior a 2 nulos. 

Agora, veja que para que 0 seja raiz tripla do polinômio e não de multiplicidade 4 ou 5, na próxima divisão por 0 (Briot-Ruffini) devemos ter resto diferente de zero, ou seja, a diferente de 0 .

Logo, a solução é:

a ≠ 0, b = 9, c = 7/3, d = 0


Espero ter ajudado.


Abraços,
Pedro

Obrigado Elcio e Pedro,
entendi perfeitamente!