Olimpíada da Holanda-83

Sejam a,b,c e p números reais, com a,b e c todos iguais, tais que a+(1/b)=b+(1/c)=c+(1/a)=p. Determine todos os valores possíveis de p e prove que abc+p=0.

Eu tentei fazer da seguinte forma, falei que b é a , já que a=b=c . ai fiquei com a seguinte equação a+1/a = p
Dai ficou : a²+1=ap --> a²-ap+1=0
d: (-p)²-4.1.1=0
p=+-2

só que o gabarito diz que p = +-1

Movido para a seção olimpíadas.
Certeza do enunciado? Veja:
a + (1/b) = p ∴ ab + 1 = pb (i)
b + (1/c) = p ∴ bc + 1 = pc (ii)
c + (1/a) = p ∴ ac + 1 = pa (iii)
somando : a + (1/a) + b + (1/b) + c + (1/c) = 3p
sabendo que -2 ≤ x + (1/x) ≤ 2
então temos -6 ≤ 3p ≤ 6 ∴    -2 ≤ p ≤ 2 (todos os possíveis valores de p estão nesse intervalo)

(ii)-(i): b(c-a) = p(c-b)
(iii)-(i) : a(c-b) = p(a-b)
(iii)-(ii): c(a-b) = p (a-c)
supondo a#b#c multiplicando as equações teríamos:
abc = -p³ ∴ abc + p³ = 0

acho estranho dizer que a ,b,c são iguais , caso a=b=c como afirma o enunciado nem precisaria mencionar b,c  , bastava então dizer que a+ (1/a) = p , e também teríamos -2 ≤ p ≤ 2 .. verificando nesse caso se é válido abc + p = 0:
como a=b=c , a³ + p = 0, e p = a + 1/a
a³ + a + (1/a) = 0 
a^4 + a³ + 1 = 0 , cujas raízes são todas complexas, absurdo já que a é real.

Qual é a fonte da questão? Quero dizer: de onde foi retirada? Qual o livro, caso seja de um livro?

Coleção elementos da matemática 0, marcelo rufino.

Na realidade o enunciado que foi colocado inicialmente está incorreto. O correto (no livro do Rufino) é "a, b, c, não todos iguais".