Volume do Cilíndro de Base Elíptica.

por **aryleudo** Dom 11 Abr 2010, 11:51

Gente, por se tratar de uma dúvida e não de uma questão propiamente dita achei que seria interessante colocar em desafio.
Bem, o caso é mais uma situação prática. O cálculo do "Volume do Cilíndro de Base Elíptica", pois aqui no Nordeste e outras regiões do país temos muito caminhões pipa (carregam água para regiões secas) e até caminhões tanque (transportam combustível) que possuem tanque não cilindricos bonitinhos, mas com bases de forma elíptica. Daí surgiu minha dúvida. Como calcular seu volume matematicamente sem a necessidade de colocar água ou outro fluído para comparar seus volume e descobrir o volume do tanque do caminhão tanque?
Volume do Cilíndro de Base Elíptica. 43609170_1

Volume do Cilíndro de Base Elíptica. 43609170_1

Não sei se minha dúvida ficou muito clara. Mas caso não tenha ficado ficou a disposição dos companheiros de fórum para esclarecer aos futuro questionamentos!
Forte abraço,

Aryleudo (Ary).

por **Euclides** Dom 11 Abr 2010, 13:00

Olá Ary,

gostei da sua proposição. É um problema bem prático e cotidiano, como você comentou. A capacidade do tanque é fácil de medir multiplicando a área da elipse pelo comprimento do tanque.

$V=\pi.a.b.L\\\begin{cases}\text{a=semi-eixo maior}\\\text{b=semi-eixo menor}\\\text{L=comprimento} \end{cases}$

Porém, a medida do volume contido no tanque a partir de uma sondagem vertical por uma porta de visita é algo bem difícil. Talvez o Élcio, por sua vivência profissional, tenha se deparado com isso e conheça um método.

Volume do Cilíndro de Base Elíptica. Trikc

Volume do Cilíndro de Base Elíptica. Trikc

por **Euclides** Dom 11 Abr 2010, 13:33

Viva o Google!!!

Software on-line para o cálculo

$\\E_1=\text{eixo menor}\\E_2=\text{eixo maior}\\c=\text{comprimento}\\L=\text{leitura da regua}$

por **aryleudo** Dom 11 Abr 2010, 16:06

Muito grato mestre Euclides pela atenção em prontamente esclarecer meu questionamento!

Forte abraço,
Aryleudo (Ary).

por **Elcioschin** Sáb 17 Abr 2010, 19:58

Ver solução correta em tópico mais à frente

$\dpi{120} \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \rightarrow x = (\frac{a}{b})*\sqrt{b^2-y^2}\\\\dV = L(dA) \rightarrow dV = L*(2x*dy) \rightarrow V = \int_{-b}^{h}2*L*x*dy\\\\V = 2L\int_{-b}^{h}xdy \rightarrow V = 2L\int_{-b}^{h}\frac{a}{b}*\sqrt{b^2 - y^2}dy\\\\Fazendo \rightarrow y = b*sen \varphi \rightarrow V = 2abL\int cos^2xdx \to V = 2abL*(\varphi/2 + sen2\varphi/4)\\\\V = abL*(\varphi + sen\varphi*cos \varphi) \rightarrow V = abL*(arcsen(y/b) + \frac{y}{b^2}*\sqrt{b^2-y^2})))$ Ver solu

por **Elcioschin** Sáb 17 Abr 2010, 20:02

Desculpem-me: eu cometí algum erro no LaTeX na penúltima linha e não conseguí consertar.

Todavia a última linha está certa. Basta aplicar os limites de integração e se obtém uma fórmula para calcular V = f(h).

Baseado nesta fórmula é que se criaram programas de cálculo, similar ao que o Euclides mostrou.

Solução completa mais abaixo

por **Euclides** Sáb 17 Abr 2010, 21:57

Olá Élcio: beleza é isso mesmo!

quanto ao êrro se era este: $sen\2varphi$ , consegui econtrar no meio dos códigos e consertar:

estava grafado:

Código:: sen\2varphi

havia uma barra invertida fora de lugar: $sen2\varphi$

Código:: sen2\varphi

Nos códigos que copiamos para o fórum tudo se repete tres vezes. É preciso consertar nos tres locais.

por **Elcioschin** Dom 18 Abr 2010, 16:03

$\dpi{120} \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \rightarrow x = \frac{a}{b}\sqrt{b^2-y^2}\\\\dV = L*dA \to dV = L*(2x*dy) \rightarrow V = 2L\int_{-b}^{h-b}xdy\\\\V = \frac{2La}{b}\int_{-b}^{h-b}\sqrt{b^2-y^2}dy \rightarrow Fazendo \rightarrow y = bsen\varphi \\\\V = 2abL\int_{-b}^{h-b}cos^2\varphi d\varphi \\\\V = 2abL(\frac{\varphi }{2} + \frac{sen2\varphi }{4}) \to V = abl(\varphi + sen\varphi cos\varphi )\\\\Aplicando - limites\\\\ V = abL(\frac{h}{b} - 1) +(\frac{h}{b} - 1)\sqrt{2\frac{h}{b}} - (\frac{h}{b})^2$

Notem que conhecido a, b, L e h obtém-se o valor de V