Encontre uma equação para a reta normal

por dyego lopes henrique Ter 03 Dez 2013, 18:21

Encontre uma equação para a reta normal à parábola y=x²-5x+4 que seja paralela à reta x-3y=5

por **Euclides** Qua 04 Dez 2013, 02:17

Por geometria analítica do nível médio:

A normal à parábola é normal à tangente no ponto. A tangente à parábola é perpendicular à reta dada e tem coeficiente angular m=-3, na forma $y=-3x+b$ .

Essa reta tem um único ponto em comum com a parábola

$\\-3x+b=x^2-5x+4\\x^2-2x+4-b=0\\\Delta =0 \;\to\;x=1$

o ponto de tangência é então P(1,0) e a reta normal à parábola passa por ele

$y=\frac{x}{3}+c\;\;\to\;\;0=\frac{1}{3}+c\;\;\;\to\;\;\;\boxed{y=\frac{x}{3}-\frac{1}{3}\;\;ou\;\;x-3y-1=0}$

Por derivação:

a derivada no ponto de tangência é igual à inclinação da tangente

$2x-5=-3\;\;\;\to\;\;\;x=1\;\;\to\;\;y=0$

a reta procurada tem a forma

$y=\frac{x}{3}+b$

e passa pelo ponto

$0=\frac{1}{3}+b\;\to\;b=-\frac{1}{3}$

portanto

$\boxed{y=\frac{x}{3}-\frac{1}{3}}$

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