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Desafio de Números complexos.

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Desafio de Números complexos. Empty Desafio de Números complexos.

Mensagem por pvniciu Dom 24 Nov 2013, 11:07

Sendo i a unidade imaginária dos números complexos, calcule o número natural n que satisfaz à equação

                                                (2 . i)^n + (1 + i)^2n = – 16 . i.


Última edição por pvniciu em Dom 24 Nov 2013, 11:13, editado 1 vez(es)

pvniciu
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Desafio de Números complexos. Empty Re: Desafio de Números complexos.

Mensagem por pvniciu Dom 24 Nov 2013, 11:12

(2i)^n+ (1+i)^(2n) +16i=0
(2i)^n+ [(1+i)²]^n) +16i=0
(2i)^n+ (1+2i+i²)^n) +16i=0
(2i)^n+ (1+2i -1)^n) +16i=0
(2i)^n+ (2i)^n +16i=0
1.(2i)^n+ 1.(2i)^n =-16i,
2.(2i)^n =-16i
(2i)^n =-8i
(2i)^n =(-2i)³
(2i)^n =(2i)³
n = 3

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Desafio de Números complexos. Empty Re: Desafio de Números complexos.

Mensagem por SnoopLy Dom 03 Fev 2019, 10:10

Uma solução alternativa
2i=2cis(\frac{\pi}{2})
(cis \theta)^n=cis (n\theta)
2(2^n cis(n\cdot\frac{\pi}{2}))=-16i\\ \\2^ncis(n\cdot\frac{\pi}{2})=-8i\\ -8i=8cis\frac{3\pi}{2}\\ 2^n cis(n\cdot\frac{\pi}{2})=8cis(\frac{3\pi}{2})\\n=3
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Desafio de Números complexos. Empty Re: Desafio de Números complexos.

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