(GCDC) Reta Tangente à Parábola

Relembrando a primeira mensagem :

A reta de equação ax + by + c = 0 tangencia as parábolas y = x² - 6x + 8 e y = x² - 10x + 21. Sendo a, b e c inteiros, calcule a - b - c.

Resposta: 905

Acho que a frase do Dela Corte significa seguinte:

É impossível que a reta tangente às duas parábolas passe por um ponto comum a ambas.

Então, vamos deixar de lados os dois pontos comuns às parábolas.
Por favor, tente fazer o desenho com a reta tangente passando por debaixo das duas parábolas. Um dos pontos de tangência é aproximadamente o ponto (2, 0) e o outro aproximadamente (4,5 ; -3,7)

Agora eu entendi a frase dele e creio que minha dúvida também foi sanada.

Obrigado.

Att.,
Pedro

É exatamente ieste o desenho Pedro
Obrigado pela colaboração

Sem problemas, Élcio.

Vamos lá... alguém conseguiu resolver?

Achei que você já tivesse resolvido,

para resolver essa problema, basta calcular a equação tangencial de cada parábola, e depois resolver o sistema.

Fiz isso e obtive a reta 24x + 16y - 47 = 0 como a reta tangente a ambas as parábolas.

Se você pesquisar as interseções com as parábolas, vai descobrir que ela tangencia a parábola y = x^2 - 6x + 8 no ponto (9/4, -7/16)e  tangencia a parábola y = x^2 - 10x + 21 no ponto (17/4, -55/16).

Logo a - b - c = 24 - 16 + 47 = 55.

Calculando, através da derivada, o coeficiente angular de uma reta tangente a uma parábola em determinado ponto, podemos relacionar pontos da reta que queremos para encontrar seu coeficiente angular.

Calculando as derivadas:
y = x² - 6x + 8
y'= 2x - 6

k = n² - 10n + 21
k'= 2n - 10

Como queremos a reta que tangência as duas, temos:
2x - 6 = 2n - 10
n = x + 2

Substituindo n na equação da segunda parábola, temos:
k = n² - 10n + 21
k = (x + 2)² - 10(x + 2) + 21
k = x² - 6x + 5

Como (n, k) e (x, y) são pares ordenados dos pontos de tangência da reta, n > x e k < y, temos que o coeficiente angular (m) da reta é negativo e dado por:
m = (k - y)/(n - x) = -3/2

Substituindo m em uma das derivadas, descobrimos um dos pontos de tangência da reta.
2x - 6 = -3/2
x = 9/4

y = x² - 6x + 8
y = (9/4)² - 6(9/4) + 8
y = -7/16

Com isso, temos a equação geral da reta, com a, b e c inteiros, dada por:
h - (-7/16) = (-3/2)(t - 9/4)
h = (47 - 24t)/16
24t + 16h - 47 = 0

Logo, a - b - c = 24 - 16 - (-47) = 55