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(GCDC) Reta Tangente à Parábola

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Mensagem por Dela Corte Sex 15 Nov 2013, 17:06

A reta de equação ax + by + c = 0 tangencia as parábolas y = x² - 6x + 8 e y = x² - 10x + 21. Sendo a, b e c inteiros, calcule a - b - c.

Resposta: 905
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Mensagem por PedroCunha Sab 16 Nov 2013, 09:57

Tangencia as duas em um mesmo ponto? Porque se isso acontecer a reta será secante a segunda parábola.
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Mensagem por Dela Corte Sab 16 Nov 2013, 13:02

@Dela Corte escreveu:A reta (...) tangencia as parábolas (...)
Leia bem: a reta tangencia as duas parábolas ao mesmo tempo. É impossível que a reta passe por um ponto comum as duas parábolas, se essas são distintas entre si.
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Mensagem por Elcioschin Sab 16 Nov 2013, 16:38

Um possível caminho:

ax + by + c = 0 ----> y = - ax/b - c/b ----> I

Substitua y em y = x² - 6x + 8 e caia numa equação do 2º grau em x

Para a reta ser tangente ∆ = 0

Faça o mesmo para y = x² - 10x + 21
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Mensagem por Dela Corte Seg 18 Nov 2013, 15:43

Mestre, fiz da seguinte maneira.

Calculei o coeficiente angular da reta que passa pelos vértices das parábolas, coloquei de volta em "ax + by + c" e igualei a qualquer uma das duas parábolas, sendo que ∆ deferia ser igual a 0.

Gostaria que alguém houvesse tentado resolver, já que esta é uma sessão de desafios.
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Mensagem por PedroCunha Seg 18 Nov 2013, 15:51

Não creio que seja impossível:

(GCDC) Reta Tangente à Parábola 82yk



Tem algo de errado no desenho?
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Mensagem por Elcioschin Seg 18 Nov 2013, 17:12

Pedro

A reta procurada deve ser tangente à ambas as parábolas.
A solução é uma reta passando próxima ao ponto (2, 0) tangenciando a parábola vermelha e tangenciando a azul á esqueda do seu vértice
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Mensagem por PedroCunha Seg 18 Nov 2013, 17:14

Uma reta decrescente?

¹ O meu desenho não é uma prova de que é possível uma reta passar por um ponto comum à duas parábolas distintas?
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Mensagem por Elcioschin Seg 18 Nov 2013, 17:45

Pedro

O enunciado pede uma reta que seja tangente à ambas as curvas (e não uma reta que passe por um ponto comum a ambas).

A única reta possível tem coeficiente angular negativo
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Mensagem por PedroCunha Seg 18 Nov 2013, 18:13

Sim. Eu entendi isso.

Minha pergunta foi outra:

O companheiro Dela Corte disse:

"Leia bem: a reta tangencia as duas parábolas ao mesmo tempo. É impossível que a reta passe por um ponto comum as duas parábolas, se essas são distintas entre si."


O meu desenho não prova que é possível uma reta passar por um ponto comum à duas parábolas distintas ao mesmo tempo?


Essa é a minha dúvida.


Não me refiro ao exercício.
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