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(GCDC) Photências II

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(GCDC) Photências II Empty (GCDC) Photências II

Mensagem por Dela Corte Sex 15 Nov 2013, 07:28

A expressão (GCDC) Photências II Gifpode ser escrita como (GCDC) Photências II Gif.

Dê o valor de a+b. Resposta: 233
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(GCDC) Photências II Empty Re: (GCDC) Photências II

Mensagem por PedroCunha Sex 15 Nov 2013, 09:21

Veja:

\\\left(\frac{1+\sqrt5}{2} \right )^{12} = \left(\left[\frac{1+\sqrt5}{2}\right]^2\right)^6 \therefore \left(\frac{1 + 2\sqrt5 + 5}{4} \right )^6 \therefore \left(\left[\frac{3 + \sqrt5}{2}\right]^2 \right )^3 \therefore \\\\ \left(\frac{9 + 6\sqrt5 + 5}{4} \right )^3 \therefore \left(\frac{7 + 3\sqrt5}{2}\right)^2 \cdot \left(\frac{7 + 3\sqrt5}{2} \right ) \therefore \\\\ \left(\frac{49 + 42\sqrt5 + 45}{4} \right ) \cdot \left(\frac{7 + 3\sqrt5}{2} \right ) \therefore \frac{343 + 147\sqrt5 + 294\sqrt5 + 630 + 315 + 135\sqrt5}{8} \therefore \\\\ \frac{1288 + 576\sqrt5}{8} \therefore 161 + 72\sqrt5 \rightarrow a + b = 161 + 72 = 233
É isso!

Abraços,
Pedro
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(GCDC) Photências II Empty Re: (GCDC) Photências II

Mensagem por Dela Corte Sex 15 Nov 2013, 10:17

Genial sua forma de calcular potências, Pedro! Esse exercício mataram rapidinho. Surprised

Mais uma vez:
(GCDC) Photências II Gif
Você consegue generalizar F(N) = a + b?
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(GCDC) Photências II Empty Re: (GCDC) Photências II

Mensagem por PedroCunha Sex 15 Nov 2013, 10:24

Very Happy

Tentei separar em casos menores, mas não consegui ver uma relação. Tenho dificuldade com essas coisas de 'generalizar', :s

Você tem a solução?
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(GCDC) Photências II Empty Re: (GCDC) Photências II

Mensagem por Dela Corte Sex 15 Nov 2013, 13:02

Não, mas vou fazer agora.

1 - Tente descobrir por qual motivo eu escrevi "Photências" e não "Potências".
2 - Tente descobrir o menor polinômio de coeficientes inteiros que possui raiz (1 + r5)/2.
3 - Tente descobrir relações bonitas no Triângulo de Pascal.


Última edição por Dela Corte em Sex 15 Nov 2013, 14:21, editado 1 vez(es)
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(GCDC) Photências II Empty Re: (GCDC) Photências II

Mensagem por PedroCunha Sex 15 Nov 2013, 13:07

Devo tentar utilizar algo relacionado ao número Phi?

O polinômio é:

\\\left(x - \frac{1 +\sqrt5}{2}\right) \cdot \left(x - \frac{1-\sqrt5}{2}\right) \therefore \left(\frac{2x - 1 - \sqrt5}{2} \right ) \cdot \left(\frac{2x - 1 + \sqrt5}{2} \right ) \therefore \\\\\\\\ \frac{4x^2 - 4x + 1 - 5}{4} \therefore \frac{4x^2 - 4x - 4}{4} \therefore x^2 - x - 1 = 0


Última edição por PedroCunha em Sex 15 Nov 2013, 13:17, editado 1 vez(es)
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(GCDC) Photências II Empty Re: (GCDC) Photências II

Mensagem por Dela Corte Sex 15 Nov 2013, 13:17

EDIT³: Me desculpe; a solução realmente era trabalhar os casos menores.

***

Observe que
N = 0, F(N) = 1.
N = 1, F(N) = 1.
N = 2, F(N) = 2.
N = 3, F(N) = 3.
N = 4, F(N) = 5.
N = 5, F(N) = 8.
N = 6, F(N) = 13.

Essa é a sequência de Fibonacci! Very Happy F(N) é o (n+1)ésimo termo da sequência Fibonacci. Porém é mais prático, para números pequenos, fazer a sequência manualmente.

Até porque, ironicamente:
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Olha a recursão aí, gente!


Última edição por Dela Corte em Sex 15 Nov 2013, 14:36, editado 1 vez(es)
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(GCDC) Photências II Empty Re: (GCDC) Photências II

Mensagem por PedroCunha Sex 15 Nov 2013, 16:10

Solução genial!

Essa recursão me lembrou do C++, haha

Ótima questão!
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