(GCDC) Photências II

por Dela Corte Sex 15 Nov 2013, 08:28

A expressão $(GCDC) Photências II Gif$ pode ser escrita como $(GCDC) Photências II Gif$ .

Dê o valor de a+b. Resposta: 233

por PedroCunha Sex 15 Nov 2013, 10:21

Veja:

$\\\left(\frac{1+\sqrt5}{2} \right )^{12} = \left(\left[\frac{1+\sqrt5}{2}\right]^2\right)^6 \therefore \left(\frac{1 + 2\sqrt5 + 5}{4} \right )^6 \therefore \left(\left[\frac{3 + \sqrt5}{2}\right]^2 \right )^3 \therefore \\\\ \left(\frac{9 + 6\sqrt5 + 5}{4} \right )^3 \therefore \left(\frac{7 + 3\sqrt5}{2}\right)^2 \cdot \left(\frac{7 + 3\sqrt5}{2} \right ) \therefore \\\\ \left(\frac{49 + 42\sqrt5 + 45}{4} \right ) \cdot \left(\frac{7 + 3\sqrt5}{2} \right ) \therefore \frac{343 + 147\sqrt5 + 294\sqrt5 + 630 + 315 + 135\sqrt5}{8} \therefore \\\\ \frac{1288 + 576\sqrt5}{8} \therefore 161 + 72\sqrt5 \rightarrow a + b = 161 + 72 = 233$

É isso!

Abraços,
Pedro

por Dela Corte Sex 15 Nov 2013, 11:17

Genial sua forma de calcular potências, Pedro! Esse exercício mataram rapidinho. Surprised

Mais uma vez:
$(GCDC) Photências II Gif$
Você consegue generalizar F(N) = a + b?

por PedroCunha Sex 15 Nov 2013, 11:24

Tentei separar em casos menores, mas não consegui ver uma relação. Tenho dificuldade com essas coisas de 'generalizar', :s

Você tem a solução?

por Dela Corte Sex 15 Nov 2013, 14:02

Não, mas vou fazer agora.

1 - Tente descobrir por qual motivo eu escrevi "Photências" e não "Potências".
2 - Tente descobrir o menor polinômio de coeficientes inteiros que possui raiz (1 + r5)/2.
3 - Tente descobrir relações bonitas no Triângulo de Pascal.

por PedroCunha Sex 15 Nov 2013, 14:07

Devo tentar utilizar algo relacionado ao número Phi?

O polinômio é:

$\\\left(x - \frac{1 +\sqrt5}{2}\right) \cdot \left(x - \frac{1-\sqrt5}{2}\right) \therefore \left(\frac{2x - 1 - \sqrt5}{2} \right ) \cdot \left(\frac{2x - 1 + \sqrt5}{2} \right ) \therefore \\\\\\\\ \frac{4x^2 - 4x + 1 - 5}{4} \therefore \frac{4x^2 - 4x - 4}{4} \therefore x^2 - x - 1 = 0$

por Dela Corte Sex 15 Nov 2013, 14:17

EDIT³: Me desculpe; a solução realmente era trabalhar os casos menores.

***

Observe que
N = 0, F(N) = 1.
N = 1, F(N) = 1.
N = 2, F(N) = 2.
N = 3, F(N) = 3.
N = 4, F(N) = 5.
N = 5, F(N) = 8.
N = 6, F(N) = 13.

Essa é a sequência de Fibonacci! Very Happy

F(N) é o (n+1)ésimo termo da sequência Fibonacci. Porém é mais prático, para números pequenos, fazer a sequência manualmente.

Até porque, ironicamente:
$(GCDC) Photências II Gif$
$(GCDC) Photências II Gif$
$(GCDC) Photências II Gif$

Olha a recursão aí, gente!