(GCDC) Soma dos Elementos de uma Matriz

Considere uma matriz quadrada B de ordem 7 com lei de formação B(m,n) = mn, onde m é a posição da linha e n é a posição da coluna. Calcule a soma de todos os elementos de B. 

Resposta:

Spoiler:

Primeira linha

B(1,1) ; B(1,2); B(1,3); B(1,4); B(1,5); B(1,6) ; B(1,7)
    1          2         3        4         5         6          7
S = 28

Segunda linha:

B(2,1) ; B(2;2) ; B(2,3) ; B(2,4) ; B(2,5) ; B(2,6) ; B(2,7) ;
    2          4          6         8          10        12        14
S = 56

Continuando assim sucessivamente, temos que a soma das linhas forma uma P.A. de razão 28, a1 = 28, n = 7; an = 196

Logo, a soma de todas é:

S = (a1 + an) * n/2
S = (28 + 196) * 7/2
S = 784


É isso.


Att.,
Pedro

Pedro,

Você conseguiria generalizar uma resposta para uma matriz de ordem N? Considere como um desafio pessoal

Vejamos:

Para uma matriz de ordem N, teríamos:

Primeira linha:

B(1,1) ; B(1,2); B(1,3); B(1,4) ...  B(1,n)
  
Segunda linha:


B(2,1) ; B(2,2) ; B(2,3) ; B(2,4) ... B(2,n) 


Terceira linha:


B(3,1) ; B(3,2) ; B(3,3) ; B(3,4) ... B(3,n)


n-linha:


B(n,1) ; B(n,2) ; B(n,3) ; B(n,4) ... B(n,n)


Para a primeira linha a soma fica:


1 + 2 + 3 + 4 + ... + n


P.A.: a1 = 1, r = 1, an = n 

S = (1 + n) * n/2
S = (n + n²)/2


Para a segunda linha:


2 + 4 + 6 + 8 + ... + 2n


P.A.: a1 = 2, r = 2, an = 2n


S = (2 + 2n) * n/2
S = (2n + 2n²)/2
S = n + n²


Terceira linha:


3 + 6 + 9 + 12 + ... + 3n


P.A.: a1 = 3, r = 3, an = 3n


S = (3 + 3n) * n/2
S = (3n + 3n²)/2


n-linha:


n + 2n + 3n+ 4n + ... + n²
n * (1 + 2 + 3 + 4 + ... + n)

P.A. dentro dos parênteses: a1 = 1, r = 1, an = n

S = (1 +n) * n/2
S = (n + n²)/2

Portanto: S = n *(n + n²)/2

A soma fica então:


[(n + n²)/2] + [n + n²] + [(3n + 3n²)/2] + ... + [n *(n + n²)/2]
(n + n²)/2 * (1 + 2 + 3 + ... + n)

P.A. nos parênteses:

S = (1 + n) * n/2
S = (n + n²)/2

Terminando a soma:

(n+n²)/2 * (n+n²)/2 = [(n+n²)/2]²


Att.,
Pedro


¹Contribuição do colega Luck

Amigo, a soma das somas forma um progressão aritmética sim... uma PA composta por PA's!

Creio que o exercício fica muito mais fácil vendo os casos menores antes de se passar ao caso geral. Por isso minha pergunta inicial na discussão pedia a soma com N = 7, um número ainda "pequeno".

***

Ignoremos somente a matriz N = 1, onde ∑ = 1, obviamente.

Para uma matriz N = 2,
∑ = (1 + 2) + (2 + 4) = 9.
Reescrevendo a soma, temos que:
∑ = 1 * (1 + 2) + 2 * (1 + 2) = 9
∑ = (1 + 2)² = 9.

Para uma matriz N = 3,
∑ = (1 + 2 + 3) + (2 + 4 + 6) + (3 + 6 + 9) = 36.
Reescrevendo a soma, temos que:
∑ = 1 * (1 + 2 + 3) + 2 * (1 + 2 + 3) + 3 * (1 + 2 + 3) = 36.
∑ = (1 + 2 + 3)² = 36.

Numa matriz N = N,
∑ = (1 + 2 + (...) + N) + (2 + 4 + (...) + 2N) + (...) + (N + 2N + (...) + N²).
Reescrevendo a soma, temos que:
∑ = 1 * (1 + 2 + (...) + N) + 2 * (1 + 2 + (...) + N) + (...) + N * (1 + 2 + (...) + N).
∑ = (1 + 2 + (...) + N)².


∑ = [n(n+1)/2]²
ou
∑ = n²(n+1)²/4.

***

Spoiler:

Show de bola cara!

Ótima sacada, parabéns!

Que coincidência! Mudou faz tempo? Haha

Att.,
Pedro

Muito obrigado. Eu mesmo "criei" esse problema, e foi um dos poucos que consegui resolver sozinho , por isso não creio que ele seja tão difícil assim. O negócio mesmo é visualizar.

Em 2007 me mudei pra Aracruz (ES) e em 2010-2011 me mudei pra Jacareí (SP).

Ótimo exercício Dela Corte, sem dúvidas.

Quem sabe já tenhamos topado aqui, haha. Moro aqui faz 17 anos.

Boa solução DelaCorte. Pedro ,indo pelo seu caminho era só manter em evidência que chegaria ao mesmo resultado:

S = (1 + n)n/2 + 2(1+n)n/2 + 3(1+n)n/2 + .... + n(1+n)n/2
S = [(1+n)n/2] (1 + 2 + 3 + ... + n )
S = [(1+n)n/2][(1+n)n/2]
S = [(1+n)n/2]²

É verdade.

Falta de atenção minha.

Uma dúvida: No sua resposta, na seguinte parte:

+ 3(1+n)n/2 + .... + n(1+n)/2


Não seria:


+ 3(1+n)n/2 + .... + n(1+n) * n/2



Att.,
Pedro