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(GCDC) Soma dos Elementos de uma Matriz

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(GCDC) Soma dos Elementos de uma Matriz Empty (GCDC) Soma dos Elementos de uma Matriz

Mensagem por Dela Corte Sab 09 Nov 2013, 17:22

Considere uma matriz quadrada B de ordem 7 com lei de formação B(m,n) = mn, onde m é a posição da linha e n é a posição da coluna. Calcule a soma de todos os elementos de B. 

Resposta:
Spoiler:
Tente resolver primeiro...
Spoiler:
784
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Mensagem por PedroCunha Sab 09 Nov 2013, 17:42

Primeira linha

B(1,1) ; B(1,2); B(1,3); B(1,4); B(1,5); B(1,6) ; B(1,7)
    1          2         3        4         5         6          7
S = 28

Segunda linha:

B(2,1) ; B(2;2) ; B(2,3) ; B(2,4) ; B(2,5) ; B(2,6) ; B(2,7) ;
    2          4          6         8          10        12        14
S = 56

Continuando assim sucessivamente, temos que a soma das linhas forma uma P.A. de razão 28, a1 = 28, n = 7; an = 196

Logo, a soma de todas é:

S = (a1 + an) * n/2
S = (28 + 196) * 7/2
S = 784


É isso.


Att.,
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Mensagem por Dela Corte Qua 13 Nov 2013, 18:38

Pedro,

Você conseguiria generalizar uma resposta para uma matriz de ordem N? Considere como um desafio pessoal Smile
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Mensagem por PedroCunha Qua 13 Nov 2013, 21:32

Vejamos:

Para uma matriz de ordem N, teríamos:

Primeira linha:

B(1,1) ; B(1,2); B(1,3); B(1,4) ...  B(1,n)
  
Segunda linha:


B(2,1) ; B(2,2) ; B(2,3) ; B(2,4) ... B(2,n) 


Terceira linha:


B(3,1) ; B(3,2) ; B(3,3) ; B(3,4) ... B(3,n)


n-linha:


B(n,1) ; B(n,2) ; B(n,3) ; B(n,4) ... B(n,n)


Para a primeira linha a soma fica:


1 + 2 + 3 + 4 + ... + n


P.A.: a1 = 1, r = 1, an = n 

S = (1 + n) * n/2
S = (n + n²)/2


Para a segunda linha:


2 + 4 + 6 + 8 + ... + 2n


P.A.: a1 = 2, r = 2, an = 2n


S = (2 + 2n) * n/2
S = (2n + 2n²)/2
S = n + n²


Terceira linha:


3 + 6 + 9 + 12 + ... + 3n


P.A.: a1 = 3, r = 3, an = 3n


S = (3 + 3n) * n/2
S = (3n + 3n²)/2


n-linha:


n + 2n + 3n+ 4n + ... + n²
n * (1 + 2 + 3 + 4 + ... + n)

P.A. dentro dos parênteses: a1 = 1, r = 1, an = n

S = (1 +n) * n/2
S = (n + n²)/2

Portanto: S = n *(n + n²)/2

A soma fica então:


[(n + n²)/2] + [n + n²] + [(3n + 3n²)/2] + ... + [n *(n + n²)/2]
(n + n²)/2 * (1 + 2 + 3 + ... + n)

P.A. nos parênteses:

S = (1 + n) * n/2
S = (n + n²)/2

Terminando a soma:

(n+n²)/2 * (n+n²)/2 = [(n+n²)/2]²


Att.,
Pedro



¹Contribuição do colega Luck


Última edição por PedroCunha em Sex 15 Nov 2013, 16:29, editado 1 vez(es)
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Mensagem por Dela Corte Sex 15 Nov 2013, 07:44

Amigo, a soma das somas forma um progressão aritmética sim... uma PA composta por PA's!

Creio que o exercício fica muito mais fácil vendo os casos menores antes de se passar ao caso geral. Por isso minha pergunta inicial na discussão pedia a soma com N = 7, um número ainda "pequeno".

***

Ignoremos somente a matriz N = 1, onde ∑ = 1, obviamente.

Para uma matriz N = 2,
∑ = (1 + 2) + (2 + 4) = 9.
Reescrevendo a soma, temos que:
∑ = 1 * (1 + 2) + 2 * (1 + 2) = 9
∑ = (1 + 2)² = 9.

Para uma matriz N = 3,
∑ = (1 + 2 + 3) + (2 + 4 + 6) + (3 + 6 + 9) = 36.
Reescrevendo a soma, temos que:
∑ = 1 * (1 + 2 + 3) + 2 * (1 + 2 + 3) + 3 * (1 + 2 + 3) = 36.
∑ = (1 + 2 + 3)² = 36.

Numa matriz N = N,
∑ = (1 + 2 + (...) + N) + (2 + 4 + (...) + 2N) + (...) + (N + 2N + (...) + N²).
Reescrevendo a soma, temos que:
∑ = 1 * (1 + 2 + (...) + N) + 2 * (1 + 2 + (...) + N) + (...) + N * (1 + 2 + (...) + N).
∑ = (1 + 2 + (...) + N)².


∑ = [n(n+1)/2]²
ou
∑ = n²(n+1)²/4.

***

Spoiler:
Eu nasci em Passos! \o/
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Mensagem por PedroCunha Sex 15 Nov 2013, 09:04

Show de bola cara!

Ótima sacada, parabéns!

Que coincidência! Mudou faz tempo? Haha

Att.,
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Mensagem por Dela Corte Sex 15 Nov 2013, 10:11

Muito obrigado. Eu mesmo "criei" esse problema, e foi um dos poucos que consegui resolver sozinho Razz, por isso não creio que ele seja tão difícil assim. O negócio mesmo é visualizar.

Em 2007 me mudei pra Aracruz (ES) e em 2010-2011 me mudei pra Jacareí (SP).
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Mensagem por PedroCunha Sex 15 Nov 2013, 10:13

Ótimo exercício Dela Corte, sem dúvidas.

Quem sabe já tenhamos topado aqui, haha. Moro aqui faz 17 anos.
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Mensagem por Luck Sex 15 Nov 2013, 15:56

Boa solução DelaCorte. Pedro ,indo pelo seu caminho era só manter em evidência que chegaria ao mesmo resultado:

S = (1 + n)n/2 + 2(1+n)n/2 + 3(1+n)n/2 + .... + n(1+n)n/2
S = [(1+n)n/2] (1 + 2 + 3 + ... + n )
S = [(1+n)n/2][(1+n)n/2]
S = [(1+n)n/2]²


Última edição por Luck em Sex 15 Nov 2013, 16:12, editado 1 vez(es)
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Mensagem por PedroCunha Sex 15 Nov 2013, 16:07

É verdade.

Falta de atenção minha.

Uma dúvida: No sua resposta, na seguinte parte:

+ 3(1+n)n/2 + .... + n(1+n)/2


Não seria:


+ 3(1+n)n/2 + .... + n(1+n) * n/2



Att.,
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