Deduza
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Deduza
por spawnftw Qui 07 Nov 2013, 16:26
Deduza as fórmulas de cos(nθ) e sen(nθ) em função de cosθ e senθ, utilizando a fórmula de De Moivre e o binômio de Newton no seguinte caso:
n = 3
n = 3
spawnftw- Mestre Jedi
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PedroCunha- Monitor
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Re: Deduza
por spawnftw Qui 07 Nov 2013, 20:54
Realmente parece que falta Pedro. Mas não faltou. é Assim mesmo o n seria substituído na fórmula de moivre e no desenvolvimento do binômio.
mas não to conseguindo fazer. pra te falar bem, não sei onde chegar hhahaha
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spawnftw- Mestre Jedi
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Re: Deduza
por PedroCunha Qui 07 Nov 2013, 21:02
Bom, pela fórmula de Moivre, temos:
Seja um número complexo Z, tal que Z = p * (cos θ * i sen θ),
Z^n = p^n *(cos nθ + i sen nθ)
Seria isso?
Seja um número complexo Z, tal que Z = p * (cos θ * i sen θ),
Z^n = p^n *(cos nθ + i sen nθ)
Seria isso?
PedroCunha- Monitor
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Re: Deduza
por spawnftw Qui 07 Nov 2013, 21:13
eu tentei assim.
escrevendo um número complexo z na fórmula trigonométrica.
z = p(cosθ + isenθ)
elevando ao cubo
z³ = p³(cosθ + isenθ)³ (aplicando o binômio)
z³ = p³(cos³θ + isenθ.cos²θ + i².sen²θ.cosθ + i³.sen³)
z³ = p³(cos³θ + isenθ.cos²θ - sen²θ.cosθ - sen³i)
z³ = p³[cosθ(cos²θ - sen²θ) + isenθ(cos²θ - sen²θ)
z³ = p³[(cos²θ - sen²θ).(cosθ + isenθ)]
z³ = p³[cos2θ.(cosθ + isenθ)]
talvez agora é só substituir a fórmula de moivre.
parei ai, consegue continuar?
essa questão parece interessante
escrevendo um número complexo z na fórmula trigonométrica.
z = p(cosθ + isenθ)
elevando ao cubo
z³ = p³(cosθ + isenθ)³ (aplicando o binômio)
z³ = p³(cos³θ + isenθ.cos²θ + i².sen²θ.cosθ + i³.sen³)
z³ = p³(cos³θ + isenθ.cos²θ - sen²θ.cosθ - sen³i)
z³ = p³[cosθ(cos²θ - sen²θ) + isenθ(cos²θ - sen²θ)
z³ = p³[(cos²θ - sen²θ).(cosθ + isenθ)]
z³ = p³[cos2θ.(cosθ + isenθ)]
talvez agora é só substituir a fórmula de moivre.
parei ai, consegue continuar?
essa questão parece interessante
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Re: Deduza
por PedroCunha Qui 07 Nov 2013, 21:29
Encontrei dos sites com as demonstrações:
http://obaricentrodamente.blogspot.com.br/2010/04/demonstracao-da-1-formula-de-de-moivre.html
http://pt.wikipedia.org/wiki/F%C3%B3rmula_de_De_Moivre
Segundo o primeiro, você estava no caminho certo, penso eu.
http://obaricentrodamente.blogspot.com.br/2010/04/demonstracao-da-1-formula-de-de-moivre.html
http://pt.wikipedia.org/wiki/F%C3%B3rmula_de_De_Moivre
Segundo o primeiro, você estava no caminho certo, penso eu.
PedroCunha- Monitor
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Re: Deduza
por Luck Qui 07 Nov 2013, 22:04
É por esse caminho mesmo spwanftw :
z = p(cosθ+isenθ)
z³ = p³(cosθ+isenθ)³
(pcisθ)³ = p³(cosθ+isenθ)³
cis(3θ) = (cosθ+isenθ)³
cos3θ + isen3θ = cos³θ + 3cos²θsenθi - 3cosθsen²θ -isen³θ
cos3θ+ i sen3θ = (cos³θ -3cosθsen²θ) + (3cos²θsenθ - sen³θ)i
igualando parte real com imaginária, temos:
cos3θ = cos³θ - 3cosθsen²θ ∴ cos3θ = cos³θ -3cosθ(1-cos²θ) ∴ cos3θ = 4cos³θ - 3cosθ
sen3θ = (3cos²θsenθ - sen³θ) ∴ sen3θ = 3(1-sen²θ)senθ - sen³θ ∴ sen3θ = 3senθ -4sen³θ
z = p(cosθ+isenθ)
z³ = p³(cosθ+isenθ)³
(pcisθ)³ = p³(cosθ+isenθ)³
cis(3θ) = (cosθ+isenθ)³
cos3θ + isen3θ = cos³θ + 3cos²θsenθi - 3cosθsen²θ -isen³θ
cos3θ+ i sen3θ = (cos³θ -3cosθsen²θ) + (3cos²θsenθ - sen³θ)i
igualando parte real com imaginária, temos:
cos3θ = cos³θ - 3cosθsen²θ ∴ cos3θ = cos³θ -3cosθ(1-cos²θ) ∴ cos3θ = 4cos³θ - 3cosθ
sen3θ = (3cos²θsenθ - sen³θ) ∴ sen3θ = 3(1-sen²θ)senθ - sen³θ ∴ sen3θ = 3senθ -4sen³θ
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