Continuidade, Derivada Parcial e Função Dif.
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Continuidade, Derivada Parcial e Função Dif.
por Convidado Qui Out 24 2013, 17:21
Considere a função
=\left\{\begin{matrix}&space;\frac{xy^2}{x^2+y^2}&space;\&space;se&space;\&space;(x,&space;y)\neq&space;(0,&space;0)&&space;&&space;\\&space;0&space;\&space;se&space;\&space;(x,&space;y)=(0,&space;0)&space;&&space;&&space;\end{matrix}\right. "f(x, y)=\left\{\begin{matrix} \frac{xy^2}{x^2+y^2} \ se \ (x, y)\neq (0, 0)& & \\ 0 \ se \ (x, y)=(0, 0) & & \end{matrix}\right.")
(a) f(x, y) é contínua em (0, 0)?
\rightarrow&space;(0,&space;0)}&space;\frac&space;{xy^2}{x^2+y^2}=(\lim_{(x,&space;y)\rightarrow&space;(0,&space;0)}&space;x)\cdot&space;(\lim_{(x,&space;y)\rightarrow&space;(0,&space;0)}&space;\frac&space;{y^2}{x^2+y^2}) "\lim_{(x, y)\rightarrow (0, 0)} \frac {xy^2}{x^2+y^2}=(\lim_{(x, y)\rightarrow (0, 0)} x)\cdot (\lim_{(x, y)\rightarrow (0, 0)} \frac {y^2}{x^2+y^2})")
\rightarrow&space;(0,&space;0)}&space;x "\lim_{(x, y)\rightarrow (0, 0)} x")
vai a zero.
\rightarrow&space;(0,&space;0)}&space;\frac&space;{y^2}{x^2+y^2} "\lim_{(x, y)\rightarrow (0, 0)} \frac {y^2}{x^2+y^2}")
: é limitada.
Então,
\rightarrow&space;(0,&space;0)}&space;x)\cdot&space;(\lim_{(x,&space;y)\rightarrow&space;(0,&space;0)}&space;\frac&space;{y^2}{x^2+y^2})=0=f(0,&space;0) "(\lim_{(x, y)\rightarrow (0, 0)} x)\cdot (\lim_{(x, y)\rightarrow (0, 0)} \frac {y^2}{x^2+y^2})=0=f(0, 0)")
É contínua.
(b) f(x, y) tem derivadas parciais em (0, 0)?
Sim,
-f(0,&space;0)}{x-0}=\lim_{x\rightarrow&space;0}&space;\frac{0}{x}=0 "\lim_{x\rightarrow 0} \frac{f(x, 0)-f(0, 0)}{x-0}=\lim_{x\rightarrow 0} \frac{0}{x}=0")
-f(0,&space;0)}{y-0}=\lim_{y\rightarrow&space;0}&space;\frac{0}{y}=0 "\lim_{y\rightarrow 0} \frac{f(0, y)-f(0, 0)}{y-0}=\lim_{y\rightarrow 0} \frac{0}{y}=0")
(c) f(x, y) é diferenciável em (0, 0)?
Justifique suas respostas.
Como faço o item c?
(a) f(x, y) é contínua em (0, 0)?
Então,
É contínua.
(b) f(x, y) tem derivadas parciais em (0, 0)?
Sim,
(c) f(x, y) é diferenciável em (0, 0)?
Justifique suas respostas.
Como faço o item c?
Convidado- Convidado
Re: Continuidade, Derivada Parcial e Função Dif.
por Man Utd Sex Ago 01 2014, 13:37
Olá 
Para verificar se a função é diferenciável neste ponto , tem que usar :&space;\to&space;(x_{0},y_{0})}&space;\;&space;\frac{f(h+x_{0},k&space;+y_{0})-f(x_{0},y_{0})-ah-bk}{\sqrt{h^2+k^2}} "\\\\ \lim_{ (h,k) \to (x_{0},y_{0})} \; \frac{f(h+x_{0},k +y_{0})-f(x_{0},y_{0})-ah-bk}{\sqrt{h^2+k^2}}")
e esse limite obrigatoriamente tem que ser zero para a funçãos ser diferenciavél , caso esse limite não seja zero a função não é diferenciavél no ponto em questão.Logo :
&space;\to&space;(0,0)}&space;\;&space;\frac{\frac{hk^2}{h^2+k^2}}{\sqrt{h^2+k^2}}&space;\\\\\\&space;\lim_{&space;(h,k)&space;\to&space;(0,0)}&space;\;&space;\frac{hk^2}{(h^2+k^2)^{\frac{3}{2}}} "\\\\\\ \lim_{ (h,k) \to (0,0)} \; \frac{\frac{hk^2}{h^2+k^2}}{\sqrt{h^2+k^2}} \\\\\\ \lim_{ (h,k) \to (0,0)} \; \frac{hk^2}{(h^2+k^2)^{\frac{3}{2}}}")
esse limite não existe(verifique isso pela regra dos caminhos).Então a função não é diferenciavél em (0,0).
Para verificar se a função é diferenciável neste ponto , tem que usar :
esse limite não existe(verifique isso pela regra dos caminhos).Então a função não é diferenciavél em (0,0).
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