Números inteiros

por **ivomilton** Dom 06 Out 2013, 22:35

Calcular os 3 menores números que, divididos por 11, 17 e 37, dão, respectivamente, restos iguais a 3, 10 e 13.

Gabarito: 5.008 , 11.927 , 18.846.

Desde já, muito obrigado pela resolução.

por Paulo Testoni Qua 09 Out 2013, 12:56

Hola Ivo.

O exrcício não diz se os números devem ter 2, 3, 4 ou mais algarismos.
No início fiz pelas Equações Diofontinas, assim:

n = 11x + 3
n = 17y + 10
n = 37y + 13

11x + 3 = 17y + 10
11x - 17y = 7, daqui temos:
x = 13 e y = 8

n = 11x + 3
n = 11*13 + 3
n = 146 ==> 1.º número.

Por dedução:

n = 17y + 10
n = 17*13 + 10
n = 231 ==> 2.º número

n = 37*13 + 13
n = 494 ==> 3.º número

Ou seja:

11*13 + 3 = 146
17*13 + 10 = 231
37*13 + 13 = 494

por **ivomilton** Qua 09 Out 2013, 14:24

Boa tarde, caro Paulo.

Cada um dos três números deve satisfazer as três condições, ou seja:
Quando divididos por 11, deixar resto 3;
Quando por 17, deixar resto 10; e
Quando por 37, deixar resto 13.

Pelo gabarito o amigo pode verificar que serão números de quatro algarismos cada um.

Esses três números indicados pelo gabarito são os três menores da série de números que satisfazem as condições da questão.

Muito obrigado por sua participação.

Um abraço.

por Paulo Testoni Qua 09 Out 2013, 15:23

Hola Ivomilton.

Agora entendi:

5008:11, deixa resto 3
5008:17, deixa resto 10
5008:37, deixa resto 13, ou seja: cada número deverá satisfazer as 3 condições.

Peço-lhe escusas pela minha burrice.

por Paulo Testoni Dom 20 Out 2013, 14:46

Hola Ivomilton.

x ≡ 3 (mod 11)
x = 10 (mod 17)
x = 13 (mod 37)
--------
x = 11y + 3
11y + 3 = 10 (mod 17)
11y ≡ 7 (mod 17) ==> y = 13

y ≡ 13 (mod 17)
y = 17z + 13
x = 11(17z + 13) + 3
x = 187z + 146

187z + 146 ≡ 13 (mod 37)
187z ≡ 15 (mod 37) ==> z = 26
z ≡ 26 (mod 37)
z = 37w + 26
x = 187(37w + 26) + 146

x = 6919w + 5008 (fórmula do termo geral)
para w = 0 ==> x = 5.008 (1º)
para w = 1 ==> x = 11.927 (2º)
para w = 2 ==> x = 18.846 (3º)

Uma colaboração do Tiririca.