Equação do 2° grau

por Moriza Sex 04 Out 2013, 16:30

A equação do segundo grau ax²+bx-3=0 tem -1 como uma de suas raízes. Sabendo que os coeficientes a e b são números primos positivos e que a>b, podemos afirmar que a² - b² é igual a:

por **Euclides** Sex 04 Out 2013, 17:09

Pelas relações de Girard

$\\x-1=-\frac{b}{a}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-x=\frac{-3}{a}\\\\\frac{b}{a}-1=\frac{-3}{a}\;\;\to\;\;a-b=3\\\\$

a e b são primos positivos cuja diferença é igual a 3. Só podem ser: 5 e 2

Isso podemos verificar lembrando que

$\\a-b=3 \;\;\Rightarrow \;\;a=b+3$

exceto para o número 2, todos os primos são ímpares e se b fosse ímpar, a soma b+3 seria par, mas assim não encontraríamos a primo e maior que b. Logo a=5 e b=2.

Podemos desejar confirmar:

$\\ax^2+bx-3=0\;\;\;\Rightarrow \;\;5x^2+2x-3=0\\\\x_1=-1\;\;\;\;\;\;\;\;\;x_2=\frac{3}{5}$

por Luck Sex 04 Out 2013, 17:13

P(-1) = 0 ∴ a -b - 3 = 0 ∴ a = b +3 , se b > 2 , como b é primo então b será ímpar , consequentemente a par (e maior que 2), absurdo pois a também é primo. Então a única possibilidade é b=2, a = 5
5²-2² = 21

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