Período de função

por Gabriel Rodrigues Sáb 21 Set 2013, 10:53

Qual o período da função f:R->R dada por f(x) = (1+cos 4x)^1/2 ?

Resp.: D(f) = R ; p(f) = pi/2 ; Im (f) = (0,\/2)

Encontrei f(x) = [2-2sen²2x)]^1/2, mas não consigo achar o período por causa da raíz. Tem como simplificar mais?

por **denisrocha** Sáb 21 Set 2013, 13:00

cos(4x) = 2cos²(2x) - 1
1 + cos(4x) = 2cos²(2x)
sqrt[1 + cos(4x)] = |sqrt(2)cos(2x)|, função de período pi/2.

Se você quiser rearranjar o que você encontrou, evidencie o 2 e então você vai ficar com 2[1 - sen²(2x)]. Ai basta usar a relação fundamental da trigonometria ;P

por Gabriel Rodrigues Seg 23 Set 2013, 11:06

Você pode mostrar como saiu de cos 4x e chegou em 2cos²(2x)-1?

Sei que cos(2x) = 2cos²(x) - 1. Podemos fazer x = 2x e obter esse resultado?
A mesma pergunta vale para (cos²x + sen²x) e (cos²2x + sen²2x).

por **Elcioschin** Seg 23 Set 2013, 13:36

Gabriel

Fórmula geral ----> cos(2a) = 2.cos²a - 1

Fazendo a = 2x ----> cos(2.2x) = 2.cos²(2x) - 1----> cos4x = 2.cos²(2x) - 1

por Gabriel Rodrigues Seg 23 Set 2013, 14:20

Entendi, obrigado.

por RaphaelRBF Qui 17 Jun 2021, 18:54

Como na função tem-se cos(2x) o período não deveria ser pi?

por **Elcioschin** Qui 17 Jun 2021, 19:33

Não, porque a função está em módulo. Veja:

Para x = 0 ---> f(0) = √(1 + cos0) ---> f(0) = √(1 + 1) ---> f(0) = √2

Para x = 3.pi/8 --> f(3.pi/8) = √[1 + cos(4.3.pi/8)] ---> f(3.pi/8) = 1

Para x = pi/4 ---> f(pi/4) = √[1 + cos(4.pi/4)] ---> f(pi/4) = 0

Para x = pi2 ---> f(pi/2) = √[1 + cos(4.pi/2)] ---> f(pi/2) = √2

Logo ---> T = pi/2