questão trigonometria - relação entre áreas

por Convidado Sex 13 Set 2013, 00:29

Me ajudem com a resolução deste exercício. A resposta é MC = √3/3

(Unesp 96) A área do quadrado ABCD da figura adiante é 1. Nos lados BC e DE tomam-se, respectivamente, os pontos M e N de modo que MN seja paralelo à diagonal DB.

questão trigonometria - relação entre áreas E983

Se as áreas do triângulo CMN, do trapézio MNDB e do triângulo ABD formam, nessa ordem, uma progressão aritmética, calcule a medida do MC.

por **Elcioschin** Sáb 14 Set 2013, 14:48

Sejam:

O o ponto médio de BD (centro do quadrado)
P o ponto médio de MN
x = MC = NC ----> MN = x.\/2

Trace OPC

DB = AC = d = \/2

OC = d/2 ----> OC = \/2/2

CP = MC.cos45º ----> CP = x.\/2/2

OP = OC - CP ----> OP = \/2/2 - x.\/2/2 ----> OP = (1 - x)\/2/2

S1 = NC.MC/2 ----> S1 = x²/2

S2 = (BD + MN).OP/2 ---> S2 = (\/2 + x.\/2).(1 - x)/\/2/2 ----> S2 = 1 - x²

S3 = AB.AD/2 ----> S3 = 1.1/2 ---> S3 = 1/2

S1 + S3 = 2.S2 ----> x²/2 + 1/2 = (1 - x²) ---> x² + 1 = 2 - 2x² ----> 3x² = 1 ----> x = \/3/3

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