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Raiz é sen 10

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Raiz é sen 10 Empty Raiz é sen 10

Mensagem por Paulo Ricardo 121 Qua 11 Set 2013, 16:44

Obtenha um polinômio de coeficientes inteiros que admita sen10∘  como raiz. Determine as outras raízes e prove que  sen 10∘  não pode ser escrito na forma p/q, onde  e  são inteiros, ou seja, que é um número irracional.
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Raiz é sen 10 Empty Re: Raiz é sen 10

Mensagem por Luck Qui 12 Set 2013, 01:29

sen3α = 3senα - 4sen³α , fazendo x = 10º temos: sen30º = 3sen10º - 4sen³10º
então seja senα = x
1/2 = 3x - 4x³   8x³ -6x + 1 = 0 , onde sen10º é uma raíz. 
Suponha que sen10º nao seja irracional, então sen10º = p/q , mdc(p,q) = 1.
Em uma equação qualquer com coeficientes inteiros,pelo teorema das raízes racionais se p/q é uma raíz então p é divisor do termo independente  e q é divisor do termo de maior grau, então sen10 = +-1/8 ou sen10 = +-1/4 ou sen10 = +- 1/2 , ou sen10 = +-1 o que é absurdo, pois nao são raízes da equação. c.q.d.
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