Valor da expressão

"O valor da expressão (cos15º + cos75º)/sen15º + (sen15º+sen75º)/cos15º é igual a:.."

Gabarito diz que vale 6

sen(a  ± b) = sena.cosb  ± senb.cosa
cos(a ±b) = cosa.cosb ∓ sena.senb

Faça cos15 = cos(45 - 30), cos75 = cos(45 + 30), sen15 = sen(45 - 30) e sen75 = sen(45 + 30)

Di0 escreveu:"O valor da expressão (cos15º + cos75º)/sen15º + (sen15º+sen75º)/cos15º é igual a:.."

Gabarito diz que vale 6

Temos que:

sen 15º = sen (60º - 45º) = sen 60º . cos 45º - sen 45º . cos 60º = V3/2 . V2/2 - V2/2 . 1/2 = V6 - V2 / 4

cos 15º = cos (60º - 45º) = cos 60º . cos 45º + sen 60º . sen 45º = 1/2 . V2/2 + V3/2 . V2/2 = V6 + V2/4

Como 90º - 15º = 75º, segue que, sen 15º = cos 75º e cos 15º = sen 75º.

Logo, o valor da expressão é equivalente a:

(cos 15º + sen 15º)/ sen 15º + (sen 15º + cos 15º)/cos 15º = (V6 + V2/4 + V6 - 2/4) / (V6 - V2/4) + (V6 - V2/4 + V6 + V2/4) / (V6 + V2/4) = (2V6/4) / (V6 - V2/4) + (2V6/4) / (V6 + 2/4) = (2V6) / (V6 - V2) + (2V6) / (V6 + V2) = (12 + 4V3) / 4 + (12 - 4V3) /4 = 3 + V3 + 3 - V3 = 6

Portanto, o valor da expressão é igual a 6.