Números Complexos

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Mensagem por diolinho em Qua 28 Ago 2013, 23:09

(UFV) Considere o conjunto Ω = {z   C; ∣ z - 25i ∣ = 15}, onde C é o conjunto dos números complexos e i = -1 é a unidade imaginária. O módulo do número complexo, pertencente a Ω, de maior argumento é:
a) 20
b) 19
c) 18
d) 21

Gab.: A

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Re: Números Complexos

Mensagem por Luck em Qui 29 Ago 2013, 01:31

| z - 25i| = 15, o l.g é uma circunferência de centro (0,25) e raio 15. O complexo de maior argumento pertence à reta que tangencia a cicunferência no segundo quadrante:


https://2img.net/h/s10.postimg.cc/3xpzgmdo9/untitled.png
25² = 15² + |z|²
|z| = 20
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Re: Números Complexos

Mensagem por diolinho em Qui 29 Ago 2013, 20:15

obrigado amigo!

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Re: Números Complexos

Mensagem por matheus__borges em Qui 06 Set 2018, 14:10

Galera, é possível provar isso que o Luck disse?
O complexo de maior argumento pertence à reta que tangencia a cicunferência no segundo quadrante.
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Re: Números Complexos

Mensagem por Elcioschin em Qui 06 Set 2018, 14:44

A própria figura do Luck serve para provar isto.

Note que existem duas retas que passam pela origem e tangenciam a circunferência:

Uma é a reta mostrada pelo Luck, tangente no 3º quadrante: o argumento vale: θ ~- 127º
Outra seria uma reta tangente à circunferência no 1º quadrante: o argumento vale: θ ~- 53º

Obviamente 127º > 53º ---> 127º é o maior argumento e 53º é o menor argumento.
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Re: Números Complexos

Mensagem por matheus__borges em Qui 06 Set 2018, 15:25

Acredito (Minto, acabaram de me dizer) que deva ter uma resolução por derivadas (Não encontrei uma forma rigorosa, para demonstrar isso pela matemática do ensino médio), de maneira formal. Até entendo que é bem óbvio pela imagem, porém olhômetro não é bem matemática haha. Mas como não tenho essa linguagem ainda, nem vou te incomodar com isso mestre Elcioschin, muito obrigado!
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Re: Números Complexos

Mensagem por Elcioschin em Qui 06 Set 2018, 17:09

Um modo sem derivadas

Reta tangente ---> y = - tgθ. x

x² + (y - 25)² = 15² ---> x² + (- tgθ.x - 25)² = 225 --> x².(1 + tg²θ) + 50.tgθ.x + 400 = 0 --->

Devemos ter ∆ = 0 ---> (-50.tgθ)² - 4.(1 + tg²θ).400 = 0 ---> tgθ = 4/3 = 20/25

Isto corresponde à figura do Luck no triângulo retângulo 15, 20, 25

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Re: Números Complexos

Mensagem por matheus__borges em Sex 07 Set 2018, 06:28

Quase isso mestre! Vou completar a resolução.

Veja que a reta é da forma y=x.tg\theta . Se o ângulo for obtuso a tangente será negativa e se for agudo à mesma será positiva (Não precisa fazer y=-x.tg\theta ). 

Note também que não sabemos se a reta terá que ser secante ou tangente a circunferência para obtermos o menor ou maior argumento de z, entretanto, é óbvio que a primeira deve tocá-la. Assim, vem que:

\begin{cases}

x^{2}(tg^{2}\theta+1)-50tg\theta+400=0 \\ 

\Delta \geq 0

\end{cases}  \rightarrow 2500tg^{2}\theta-1600(tg\theta^{2}+1)\geq 0 \rightarrow tg\theta\leq \frac{-4}{3}\cup tg \theta \geq \frac{4}{3}
 

Lembrando que a função tangente é sempre crescente (Independente do quadrante) e que 0< \Theta < 180 , chegamos a esta conclusão no ciclo trigonométrico:



Finalmente encontramos que o menor argumento de z é tg \theta =\frac{-4}{3}  e o maior é  tg \theta =\frac{4}{3}
Duas cabeças pensam melhor haha, obrigado mestre Élcio!
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