Triangulo Retangulo

por sotonayu Sex 23 Ago 2013, 16:37

Em um triângulo retângulo cujos catetos medem 2, construímos um segundo triângulo retângulo onde um dos catetos está apoiado na hipotenusa do primeiro e o outro cateto mede 2. Construímos um terceiro triângulo com um dos catetos medindo 2 e o outro apoiado na hipotenusa do segundo triângulo. Se continuarmos a construir triângulos sempre da mesma forma, quanto medirá a hipotenusa do 2001º triângulo?

a)2001 b)2001V2 c)2000 d)V2001 e)V4002

Obs: O V das opções é raiz. V2 = raíz de 2

Eu tentei ir pela lógica, como por exemplo, 1 triangulo, hipotenusa 2V2, 2 triangulo hipotenusa 2V3, 3 triangulo hipotenusa 2V4 e "conclui" que o 2001 seria 2V2002, mas não tem essa opção...

Grato!

por **Elcioschin** Sex 23 Ago 2013, 20:07

Está complicado de entender. Poste um desenho, por favor

por sotonayu Sex 23 Ago 2013, 20:22

A questão não tem desenho... .-.

Mas é basicamente pegar um triângulo de catetos 2, onde a hipotenusa será 2V2, e em seguida formar um outro triângulo a partir desse, com um cateto 2 (sem ser o do triangulo 1, um outro q vc faz) e o outro cateto reaproveitando a hipotenusa 2V2 do primeiro e assim sucessivamente.

por **Elcioschin** Sáb 24 Ago 2013, 12:46

Suponho que seja o seguinte:

Seja o triângulo retângulo isósceles ABC (AB = AC = 2). Do vértice A, baixa-se a altura AH relativa ao lado BC, obtendo-se um outro triângulo retângulo isósceles HAB. Novamente, repete-se a operação baixando-se a altura HI relativa á hipotenusa AB.

Hipotenusa BC ----> BC² = AB² + AC² ----> BC² = 2² + 2² ----> BC² = 8 ----> BC = 2√2

H é ponto médio de BC logo AH = BH = CH = √2 (raio da circunferência circunscrita ao triângulo ABC).

Assim, o 2º triângulo (HAB) tem catetos AH = BH = √2 e hipotenusa AB = 2

Assim, o 3º triângulo (IBH) tem catetos BI = HI = 1 e hipotenusa BH = √2

As hipotenusas são 2√2, 2, √2, ..........

Temos uma PG com a1 = 2√2 e q = 1/√2 = 2^(-1/2) ---> an = a1.q^(n - 1) ---> a2001 = a1.q^2000 --->

a2001 = (2√2).[2^(-1/2)]^2000 ---> a2001 = = [2.2^(1/2)]).(2^-1000) ---> a2001 = [2¹.2^1/2)].2^-1000 --->

a2001 = 2^(-1997/2)

Seu gabarito não pode estar certo: como o valor da hipotenusa está diminuindo a última não pode medir tão alto

Favor conferir enunciado e alternativas