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Probabilidade de enfileiramento de pessoas

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Probabilidade de enfileiramento de pessoas Empty Probabilidade de enfileiramento de pessoas

Mensagem por Gustavo Gomes Ter 23 Jul 2013, 20:23

OLá.

Na questão:

Um grupo é constituido de 10 pessoas, entre elas, José e Paulo. O grupo é disposto ao acaso em uma fila. Qual a probabilidade de que haja exatamente 4 pessoas entre José e Paulo?

A resposta é 1/9.

Não sei como resolver, pensei em usar permutações, mas não consegui.

Grato.

Gustavo Gomes
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Probabilidade de enfileiramento de pessoas Empty Re: Probabilidade de enfileiramento de pessoas

Mensagem por Giiovanna Qua 24 Jul 2013, 11:01

Há 10! maneiras de dispormos 10 pessoas em fila. Agora vejamos:

Seja J = José e P = Paulo, devemos ter a seguinte configuração de fila: ... J _ _ _ _ P ... ou... P _ _ _ _ J...

Estes "blocos" podem ocupar qualquer lugar na fila, sendo José o primeiro, ou p segundo ... até o quinto (bem como Paulo, se este estiver antes de José).

Vamos ver de quantas maneiras podemos colocar 4 das 8 pessoas disponíveis (10 menos José e Paulo) dentro desse bloco. Basta fazer A_{8,4) = 8!/4! maneiras.

Vamos chamar de B esse bloco que ocupa 6 lugares na fila. Se 6 pessoas já pertencem à ele, restam 4 para rearranjarmos em relação ao bloco. Assim, temos que permutar B e 4 pessoas e ver quantas filas podemos fazer. Contando como se B fosse uma pessoa, podemos dizer que há 5! maneiras de formarmos essa fila de 4 pessoas e B.

Assim, há 2 * (8!/4!) * 5! = 10 * 8! maneiras de formarmos as filas em que há exatamente 4 pessoas entre José e Paulo. A multiplicação por 2 deve-se ao fato de que há os dois tipos de blocos.

Assim, a probabilidade de que haja extatamente 4 pessoas entre José e Paulo é

p= (10 * 8!) / 10! = (10*8!)/(10*9*8!) = 1/9

Se ficou confuso, avise Smile
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