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Lei de Fourier: Fluxo de Calor

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Lei de Fourier: Fluxo de Calor Empty Lei de Fourier: Fluxo de Calor

Mensagem por JOAO [ITA] Dom 14 Jul 2013, 04:04

Tem-se três cilindros de secções transversais iguais
de cobre, latão e aço, cujos comprimentos são, respectivamente,
46 cm, 13 cm e 12 cm. Soldam-se os cilindros, formando o perfil em Y,
indicado na figura. O extremo livre do cilindro de cobre é mantido a
100 °C e dos cilindros de latão e aço, a 0 °C. Supor que a superfície lateral
dos cilindros esteja isolada termicamente. As condutividades térmicas
do cobre, latão e aço valem, respectivamente, 0,92, 0,26 e 0,12,
expressas em cal cm–1 s–1 °C–1. No regime estacionário de condução,
qual a temperatura na junção?

Lei de Fourier: Fluxo de Calor Eutu




Obs: Já vi a resolução e a única coisa que não estou entendendo é o porque de se considerar 
φ(cobre) = φ(latão) + φ(aço).
No regime estacionário os fluxos de calor não seriam iguais em todos os pontos do sistema formado pelos três cilindros ?


Obrigado.
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Mensagem por Robson Jr. Dom 14 Jul 2013, 13:31

O fluxo não pode ser o mesmo, João. A energia em trânsito no cilindro de cobre, ao passar pela junção, deve, necessariamente, continuar ou pelo cilindro de aço ou pelo de latão. Por conservação de energia, o calor que atravessa os cilindros de aço e latão num certo intervalo de tempo deve ser igual ao calor que atravessou o cilindro de cobre nesse mesmo período.

Se supuséssemos que, no regime estacionário, o fluxo φ é o mesmo ao longo de todos os cilindros, teríamos um fluxo φ chegando à junção e um fluxo total φ + φ = 2φ saindo dela, o que seria absurdo.
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Lei de Fourier: Fluxo de Calor Empty Re: Lei de Fourier: Fluxo de Calor

Mensagem por JOAO [ITA] Dom 14 Jul 2013, 16:41

Obrigado pelo esclarecimento Robson. Agora consegui entender a questão com seus argumentos de conservação de energia na parte da junção que fica ligada ao cilindro de Cobre e nas partes da junção que ficam ligadas aos cilindros de Latão e Aço (tudo porque o cilindro de Cobre está, inicialmente, em um estado de maior agitação molecular).
Também compreendi o absurdo presente no que eu estava propondo anteriormente. 

Percebi que essa mudança no equacionamento dos fluxos de calor ocorreu, sobretudo, devido à uma certa disposição das barras (no caso, aquela disposição em Y) e, por isso, pensei na situação abaixo:
Lei de Fourier: Fluxo de Calor 2a33



Nessa nova situação, tem-se 'n' barras unidas à uma junção.
A barra 1 é feita de um material 1, possui uma temperatura (na parte oposta à que está ligada à junção) θ(1). um comprimento L[1] e um coeficiente de condutibilidade térmica k(1).
Essa situação se repete para todas as outras barras (isto é, uma barra genérica k (pertencente ao sistema) é feita de um material k, possui uma temperatura (na parte oposta à que está ligada à junção) θ(k). um comprimento L[k] e um coeficiente de condutibilidade térmica k(k)).
A área de seção transversal é a mesma em todos os pontos de qualquer um dos cilindros.
No regime estacionário de condução, qual a temperatura da junção ?







Qual seria, nesse caso o equacionamento dos fluxos de calor ?
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Mensagem por Robson Jr. Dom 14 Jul 2013, 23:54

No problema original era simples contemplar que a energia transitaria da região à 100°C para aquela à 0°C, o que permitia o equacionamento φ(cobre) = φ(aço) + φ(latão). A situação por você proposta, no entanto, dificulta saber, à priori, quais extremidades cedem energia para a junção e quais recebem energia dela. 

Para contornar essa dificuldade, usarei o seguinte artifício: convencionarei sinal positivo para os fluxos que chegam à junção, e negativo para os que dela saem. Teremos:



Observe que a convenção está implícita na variação de temperatura da Lei de Fourier: se a temperatura da extremidade i for maior que a da junção, temos Ti - T > 0 e φi > 0; caso contrário, Ti - T < 0 e φi < 0. Feita essa modelagem, fica fácil calcular a temperatura da junção:



Equacionamento análogo ao do problema original só será possível após verificarmos o sinal de cada fluxo. Para o fluxo da i-ésima junção, basta analisar Ti - T:



A informação T1 > T2 > ... > Tn só nos permite garantir que T1 - T > 0 (pois todas as parcelas T1-Tj são maiores ou iguais a zero) e que Tn - T < 0 (pois todas as parcelas Tn - Tj são menores ou iguais a zero). Ou seja, podemos afirmar que φ1 > 0 e φn < 0, mas precisaríamos de informações adicionais para determinar o sinal dos fluxos nas demais extremidades. A generalidade do problema torna o dito equacionamento inviável.
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Mensagem por JOAO [ITA] Seg 15 Jul 2013, 01:36

Então, é como se eu pudesse dividir as barras em dois grupos.

Primeiro grupo: Barras que mandam fluxo de calor para a junção.
Quantidade de barras nesse grupo: k < n.

Segundo grupo: Barras que recebem um fluxo de calor da junção.
Quantidade de barras nesse grupo: n - k.

Usando a sua convenção de sinais, as barras do primeiro grupo têm fluxo de calor de sinal positivo e as do segundo grupo têm fluxo de calor de sinal negativo, de modo que,como pela conservação de energia o fluxo que chega à junção deve ser igual ao fluxo que sai da junção, ter-se-ia que o somatório dos fluxos de calor das barras do primeiro grupo é igual a menos o somatório dos fluxos de calor das barras do segundo grupo, ou seja, o somatório de todos os fluxos de calor das barras é igual a zero.

Daí segue o equacionamento feito por você através da Lei de Fourier.

Estou correto ?
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Lei de Fourier: Fluxo de Calor Empty Re: Lei de Fourier: Fluxo de Calor

Mensagem por Robson Jr. Seg 15 Jul 2013, 10:18

Sim, é isso mesmo.
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