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Equação de Schrödinger

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Equação de Schrödinger Empty Equação de Schrödinger

Mensagem por Matheus Fillipe Qui 23 Maio 2013, 19:34

Pretendo dar uma breve noção de como a equação de Schrodinger é deduzida, por isso já vou explicando que não irei fazer uma demostração pór completo e sim explicar alguns significados e alguns conceitos.
Esta é realmente uma equação intrigante com implicações incríveis. Para chegar até ela existe um desenvolvimento com pacotes de onda para se provar o princípio da incerteza de Heinsenberg, partindo do princípio de de broglie( dualidade onda-partícula). Eu gosto de pensar na Mecânica quântica como uma teoria onde não é possível definir um ponto(princípio da incerteza), é como se tudo estivesse difundido no espaço e uma onda é o que funciona matematicamente para descrever esse comportamento. Por isso a mecânica quântica é muitas vezes mais algo que funciona do que uma pura realidade. Mas voltando à equação de scrhodinger, se você já teve algum convívio com está matemática, irá perceber que trata-se de uma equação de ondas planas, onde a diferença para uma equação de onda real é a dependência linear no tempo. Uma maneira relativamente simples de demonstrá-la é partindo do princípio conservação de energia. Na equação H significa o operador hamiltoniano, equivalente à energia mecânica, mas no caso quântico este se torna um operador diferencial dependente do espaço. Isto acontece devida a propriedade de que o observável deve ser representado por um operador hermitiniano, devido à normalização da função de onda( probabilidade em todo o espaço é um(resolver uma integral do quadrado da função de onda que representa a densidade de probabilidade(lembre-se das relações entre seno e sen^2 na estatística))). Desta forma existem operadores deslocamento, momentum, posição, e seus respectivos autovalores na mecânica quântica.

A energia mecânica pode ser expressa por: H=p^2/2m A massa não será um operador mais o momento é um operador diferencial da forma: -ih ∇(gradiente), e H se torna: -h/2m*∇^2(laplaciano). Usando que a energia mecânica deve ser a energia total de um sistema e aplicando H sobre a função de onda obteremos:
H ψ=Eψ=-h/2m*∇^2ψ
Que é uma equação independente do tempo onde E é o autovalor do operador H. Espero que haja a intuição que a solução desta equação sobre certas condições de contorno resultará em uma função periódica onde exigiremos a quantização de E. Para esta forma da equação devemos considerar estados estacionários do sistema, ou seja, independentes do tempo, como por exemplo a chegada de uma partícula em intervalo de tempo periódicos. A equação dependente do tempo surge da caracterização de ψ como uma função de onda plana.


São pré requisitos de mecânica quântica o estudo completa de uma disciplina chamada Física-Matemática onde são abordados temas como transformações de Fourrier e método de frobenius. Resumindo, especialização em todas as formas de equações diferenciais de segunda ordem.
Caso alguém tenha interesses em algo mais sobre esse assunto não hesite em deixar perguntas abaixo.
Matheus Fillipe
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