OBM - 2002

No triângulo ABC, o ângulo mede 60˚ e o ângulo B mede 50˚. Sejam M o ponto médio do lado AB e P o ponto sobre o lado BC tal que AC + CP = BP. Qual a medida do ângulo MPC?

A) 120˚ B) 125˚ C) 130˚ D) 135˚ E) 145˚

Qual ângulo mede 60º ?

Boa Noite Élcio,

Eis a questão.

(OBM) Considere um triangulo ABC com ângulos BAC = 50° , ABC = 60°, seja M o ponto médio de AB, seja um ponto P pertencente ao lado BC tal que AC + PC = PB, determine a medida do ângulo MPC.

Natal

Acho que existe algo estranho no enunciado:

1) No enunciado original vc afirmava que o ângulo B = 50º e no novo enunciado vc afirma que BAC = 50º (Esta notação significa que A = 50º).

2) No enunciado original vc afirmava que um CERTO ângulo valia 60º e no novo enunciado vc afirma que ABC = 60° (isto significa B = 60º)

Vou partir do pressuposto que o último enunciado é o correto, isto é A = 50º, B = 60º (e, obviamente C = 70º)

Desenhe este triângulo fazendo AB = 6 cm e BC = 5 cm (apenas como exemplo).

Vamos calcular o lado AC, usando o Teorema dos cossenos:

AC² = AB² + BC² - 2*AB*BC*cosB

AC² = 6² + 5² - 2*6*5*cos60º

AC² = 36 + 25 - 2*6*5*(1/2)

AC² = 31 ----> AC = V(31) ----> AC ~= 5,57

Coloque agora um ponto P qualquer sobre o lado BC, próximo de C

Veja que PB < 5 (Por exemplo PB = 4,9)

Assim teríamos AC + PC = PB ---> 5,57 + PC = 4,9 ----> PC < 0 ----> Impossível

Logo, existe erro no enunciado!!!

É meio complicada de pensar, mas simples de responder. Pega o ponto médio do lado BC, vou chamar de N, o triangulo MNP é isosceles de lados MN=NP=AC/2. O angulo maior é de 110°, pois é suplemento do angulo C, resultando em 35° para os angulos da base de MNP. Assim sobra angulo MPC = 180°-35°=145°