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Questão Impossível - Números ímpares

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Mensagem por Anderson_007 Qua 15 Maio 2013, 23:42

Mostre se é possível pôr 100 números ímpares em uma ordem tal que:
i) A soma de cinco números adjacentes seja um quadrado perfeito.
ii) A soma de nove números adjacentes também seja um quadrado perfeito.

Achei o grau de dificuldade de tal questão muito acima do normal e ficaria extremamente agradecido por quem conseguisse realizar tal questão. De já, obrigado por ao menos terem pensado nela.

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Questão Impossível - Números ímpares Empty Re: Questão Impossível - Números ímpares

Mensagem por Matheus Fillipe Dom 19 Maio 2013, 18:22

Vão aí algumas idéias a respeito que podem ajudar: Acredito que seja vital a relação N^2=soma dos N primeiros números ímpares.
Que pode ser tirada dos conceitos básicos de PA. O resto é um exercício de combinatória. 100!=9.33262154439441e157 aproximadamente 10^158 permutações de números ímpares possíveis dentre os 100. Devemos provar que um bloco de cinco ou nove casas dentre esses cem números a soma sera um quadrado perfeito. Observe a sequência: 1 3 1 3 1 3....3 centésimo e ultimo) satisfaz a condição para um bloco de tamanho dois. Para um bloco com três casas um bom exemplo é: 1 3 5 1 3 5....se tivemos um número múltiplo de 3 como número total de casas, que no caso não pode ser 100. felizmente 5 é múltiplo de cem: 13571357....1357, completando 20 sequências 1357 cuja a soma é 16, raiz 4. Para O último caso, 9 não é múltiplo de 100 assim devemos considerar que não devemos ter somente um quadrado perfeito durante a soma, então isso necessitaria um raciocínio mais profundo mais eu te garanto que não impossível.

OBSERVE que isto está longe de ser um demonstração, muitos menos formal, e também ficaria interessado em algo mais convincente. Espero ter ajudado.
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Mensagem por Anderson_007 Qui 30 Maio 2013, 21:16

Matheus, cara você tem um bom raciocínio mesmo! Eu só quis dizer que a questão era "impossível" com o objetivo de dizer que ela é difícil. Agora tenho em mãos a solução oficial e quero compartilhá-la com você e os demais membros do fórum. Veja:
"Primeiro, provaremos o seguinte resultado:
Lema: Se n é um número ímpar, então n^2 -1 é múltiplo de 8.
Prova: Como n é ímpar, então tem a forma n = 2k - 1. Com isso temos que n^2 - 1 = 4k(k - 1). Agora, como k e k - 1 são consecutivos, alguns deles é par, logo k(k - 1) é par. Disto, notamos que n^2 - 1 é múltiplo de 8.
Vamos demonstrar que o pedido não é possível. Suponhamos que seja possível. Escolhamos 45 números que estão em posições consecutivas na fila (isso significa, que estão juntos).
Designemos como S a soma destes 45 números. Seja S1 a soma dos cinco primeiros, S2 a soma dos cinco seguintes e assim sucessivamente até S9 a soma dos cinco últimos. Notemos que cada Si é um quadrado perfeito, e como é a soma de cinco ímpares, então também é par.
Logo, pelo lema, temos que Si é múltiplo de 8. Por outro lado, como S = S1 + S2 + ... + S9, então
S - 9 = (S1 - 1) + (S2 - 1) + ... + (S9 - 1) é múltiplo de 8.
Seja R1 a soma dos 9 primeiros números (seguimos considerando os 45 números escolhidos), R2 a soma dos 9 seguintes e assim sucessivamente, R5 a soma dos 9 últimos. Analogamente, como fizemos antes, temos que cada Rj é um quadrado perfeito ímpar, logo
S - 5 = (R1 - 1) + (R2 - 1) + ... + (R5 -1) é um múltiplo de 8.
De (1) e (2) temos que (S - 5) - (S - 9) = 4 é múltiplo de 8, o que não é verdadeiro. Portanto, não é possível encontrar tais números."

É... realmente não é uma questão lá tão fácil! kkk Abraços!

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Mensagem por Matheus Fillipe Sex 31 Maio 2013, 09:19

Nossa!! Foi até difícil de acompanhar, é realmente um problema interessante. Espero que não tenha um desses no vestibular kkk. Mas valeu. Falou.
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Mensagem por Anderson_007 Sex 31 Maio 2013, 22:35

kkkkkk pois é acho bem difícil ter mesmo! Mesmo assim gostei dela! =)

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