P.A - Conjuntos

Os conjuntos A, B e C possuem elementos em comum. As quantidades de elementos de todas as possíveis intersecções definidas a partir desses conjuntos, juntamente com as quantidades dos elementos dos conjuntos A, B e C, formam uma progressão aritmética de sete termos de razão R não nula. Sabendo-se que a interesecção dos três conjuntos possui R elementos, a quantidade de elementos pertecente à união dos conjuntos A, B e C é:
a) 10R
b) 7R
c) 12R
d) 15R
e) 18R

Hola danjr5.

Como o enunciado faz alusão a conjuntos, então da Teoria dos Conjuntos podemos escrever:

n(AUBUC) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A∩B) – n(A∩C) – n(B∩C) + n(A∩B∩C)

Note que temos aqui uma P.A. de 7 termos que não estão numa sequência certa. Podemos colocá-la em ordem crescente da seguinte maneira:
O 1.° elemento (conjunto) dessa P.A. é a intersecção dos três conjuntos n(A∩B∩C), pois não há um termo (conjunto menor que esse). Então:

P.A. = { n(A∩B∩C); n(A∩B); n(A∩C); n(B∩C); n(A); n(B), n(C)}

As quantidades de elementos de todas as possíveis intersecções definidas a partir desses conjuntos, juntamente com as quantidades dos elementos dos conjuntos A, B e C, formam uma progressão aritmética de sete termos de razão R não nula.

Fazendo n(B∩C) = x, teremos:
{x – 3R; x – 2R; x – R; x; x + R; x + 2R, x + 3R}

Como a intersecção dos três conjuntos possui R elementos, entâo:

n(A∩B∩C) = R = x – 3R
x – 3R = R
x = R + 3R
x = 4R, logo:

{x – 3R; x – 2R; x – R; x; x + R; x + 2R, x + 3R} =

{4R – 3R; 4R – 2R; 4R – R; 4R; 4R + R; 4R + 2R, 4R + 3R}=

{R; 2R; 3R; 4R; 5R; 6R; 7R}= { n(A∩B∩C); n(A∩B); n(A∩C); n(B∩C); n(A); n(B), n(C)}, usando a fórmula, fica:

n(AUBUC) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A∩B) – n(A∩C) – n(B∩C) + n(A∩B∩C)

n(AUBUC) = 5R + 6R + 7R – 2R – 3R – 4R + R
n(AUBUC) = 18R – 9R + R
n(AUBUC) = 9R + R
n(AUBUC) = 10R, letra a